Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

$E:\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.

$E:6x_1-6-x_2-4x_3+12=0$

Fasse zusammen.

$E:6x_1-x_2-4x_3+6=0$

$E:\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$E:4\cdot x_1+(-7)\cdot (x_2-1)+2\cdot (x_3-2)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:4x_1-7x_2+7+2x_3-4=0$

Fasse zusammen:

$E:4x_1-7x_2+2x_3+3=0$

$E:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$

Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :

$E:-6x_1-3x_2+2x_3=0|\cdot (-1)$

$E:\phantom{-}6x_1+3x_2-2x_3=0$

$E:\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:-4\cdot (x_1-1)+(-2)\cdot (x_2-1)+1\cdot (x_3+1)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-4x_1+4-2x_2+2+x_3+1=0$

Fasse zusammen:

$E:-4x_1-2x_2+x_3+7=0$

$E:\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:1\cdot (x_1-3)+(-1)\cdot (x_3-2)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:x_1-3-x_3+2=0$

Fasse zusammen:

$E:x_1-x_3-1=0$

$E:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:1\cdot (x_2-2)=0$

$E:x_2-2=0$

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  $x_1-x_3-\text{Ebene}$ )

$E:\left(\begin{array}{c}-500\\ 550\\ 100\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt .

$E:-500\cdot (x_1-40)+550\cdot (x_2-80)+100\cdot x_3=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

$E:-500x_1+20000+550x_2-44000+100x_3=0$

Fasse zusammen.

$E:-500x_1+550x_2+100x_3-24000=0$

Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch  $50$  dividieren.

$E:-10x_1+11x_2+2x_3-480=0$

Alternative Lösung: 

Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.

Klammere  $50$  im Normalenvektor aus, teile durch $50$ und berechne dann das Skalarprodukt:

$E:\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 22\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10\cdot (x_1-40)+11\cdot (x_2-80)+2\cdot x_3=0_{}^{}$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10x_1+400+11x_2-880+2x_3=0$

Fasse zusammen.

$E:-10x_1+11x_2+2x_3-480=0$