Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie

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Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene $E : 3 x_{1} - 5 x_{2} - 2 x_{3} = 10$ sowie die Punkte $P (6 | 2 | 4)$ und $Q (– 6 | 22 | 12)$ gegeben.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden $g$ , die die Punkte $P$ und $Q$ enthält, und zeigen Sie, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet.

Die Ebene $F$ enthält den Punkt $P$ und liegt parallel zur Ebene $E$ . Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $F$ .
2
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Punkte $A (2 | 2 | 0)$ , $B (2 | 5 | 0)$ , $C (– 3 | 2 | 0)$ und $D (1 | 3 | 4$ ) Eckpunkte der Pyramide $A B C D$ mit der dreieckigen Grundfläche $A B C$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A B C D$ in das unten abgebildete Koordinatensystem ein.

Die Gerade $l$ steht senkrecht auf der Grundfläche $A B C$ der Pyramide, verläuft durch den Punkt $D$ und schneidet die Grundfläche $A B C$ im Punkt $L .$ Geben Sie die Gleichung der Geraden $l$ sowie die Koordinaten des Schnittpunktes $L$ an.

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