Pflichtteil - Stochastik

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Wichtig: Für die Aufgaben hier gelten andere Nutzungbedingungen.

1
Aufgabe P1
Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f (x) = x^{2} - 6 x, x \in ℝ$ .
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
Scheitelform bestimmen
Führe eine quadratische Ergänzung durch:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x$
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x$
↓
Quadratische Ergänzung mit $3$
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} - 3^{2}$
↓
Schreibe den vorderen Teil als Binom
$=$ $(x - 3)^{2} - 3^{2}$
↓
Berechne die Potenz
$=$ $(x - 3)^{2} - 9$
Aus der Scheitelform ergibt sich der Scheitelpunkt: $S (3 | - 9)$
Hinweis: Einen anderen Lösungsweg findest du hier
Bestimme die Scheitelform der quadratischen Funktion durch eine quadratische Ergänzung.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im
Punkt $P (- 2 | f (- 2))$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Steigung und Funktionswert berechnen
Die Funktion $f$ wird mit den Regeln für die Potenzfunktion abgeleitet:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x$
↓
Ableitung berechnen
$f^{'} (x)$ $=$ $2 x - 6$
↓
Einsetzen der Stelle $x = - 2$
$f^{'} (- 2)$ $=$ $- 10$
Der Funktionswert an der Stelle $x = - 2$ beträgt:
$f (- 2) = (- 2)^{2} - 6 \cdot (- 2) = 16$
Tangente bestimmen
Setze die Werte in die Tangentenformel ein:
$g (x)$ $=$ $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$
↓
Einsetzen
$=$ $- 10 \cdot (x - (- 2)) + 16$
↓
Löse die Klammer auf
$=$ $- 10 x - 20 + 16$
$=$ $- 10 x - 4$
Bestimme die Steigung $f^{'} (- 2)$ und den Funktionswert $f (- 2)$ .
Setze die Werte in die Tangenformel ein:
$g (x) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$
2
Aufgabe P2
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - x$ .
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe. (2BE)

Graph II
Graph II kommt von oben links (2. Quadrant) und geht nach unten rechts (4. Quadrant).
Die Funktion $f (x) = x^{3}$ kommt von unten (3. Quadrant) und geht nach oben rechts (1. Quadrant). Graph II kommt daher nicht infrage.
Graph III
Die Funktion $f (x) = x^{3} - x$ besitzt eine Ableitungsfunktion und damit Steigungswerte auf dem ganzen Definitionsbereich. Der Graph III besitzt jedoch Knickstellen, an denen die Steigung nicht eindeutig ist.
Graph III kommt auch nicht infrage.
Graph I stellt die Funktion $f$ dar.
Untersuche die Graphen darauf, aus welchen Quadranten sie kommen und wohin sie gehen.
Überprüfe, ob die Funktion abgeleitet werden kann. Ist der Graph III von einer differenzierbaren Funktion?

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Flächeninhalt von $f$ und der x-Achse
Der Graph der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es reicht das Integral $\int_{0}^{1} f (x) d x$ zu berechnen. $x = 1$ ist die rechte Nullstelle der Funktion und damit die obere Grenze des Integrals.
Stammfunktion bestimmen
↓
$\int_{0}^{1} f (x) d x$ $=$ ${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$
↓
Grenzen einsetzen
$=$ $\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$
$=$ $- \frac{1}{4}$
Da der Flächeninhalt immer dem Betrag des Integrals entspricht, gilt insgesamt:
$A = \underset{Symmetrie}{\underset{⏟}{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Hinweis: eine ausführlichere Rechnung findest du hier
Untersuche die Symmetrie des Graphen. Es muss nur eine Fläche berechnet werden.
Bestimme die Stammfunktion und berechne den Flächeninhalt in den Grenzen der Nullstellen.
3
Aufgabe P3
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{x} + 1$ .
Bestimmen Sie $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Integral berechnen
Eine Stammfunktion von $f$ ist: $F (x) = e^{x} + x$
Stammfunktion verwenden
↓
$\int_{0}^{1} f (x) d x$ $=$ ${[e^{x} + x]}_{0}^{1}$
↓
Grenzen einsetzen
$=$ $e^{1} + 1 - (e^{0} + 0)$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $e + 1 - 1$
$=$ $e$
Bestimme eine Stammfunktion von $f$ .
Setze die Grenzen ein und berechne das Integral.

Der Graph der Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ durch Spiegeln an der $y$ -Achse und Verschieben um 3 in positive $y$ -Richtung erzeugt werden.
Geben Sie einen Funktionsterm von $g$ an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
$g$ aus $f$ bestimmen
Wir spiegeln den Graphen von $f$ an der y-Achse:
$f (- x)$ $=$ $e^{- x} + 1$
↓
Potenzgesetz
$=$ ${(\frac{1}{e})}^{x} + 1$
Verschiebe den Graphen abschließend nach oben, um $g$ zu erhalten:
$g (x) = {(\frac{1}{e})}^{x} + 1 + 3 = {(\frac{1}{e})}^{x} + 4$ oder $g (x) = \frac{1}{e^{x}} + 4$ oder $g (x) = e^{- x} + 4$ .
Setze $g (x) = f (- x)$ , um den Graphen an der y-Achse zu spiegeln.
Addiere 3, um den Graphen 3 Einheiten nach oben zu verschieben.
4
Aufgabe P4
Von den Personen, die einen bestimmten Allergietest machen, haben $15 %$ Heuschnupfen.
Der Test ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 %$ positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt $2 %$ .
Von den Personen, die den Test machen lassen, wird eine Person zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wir bezeichnen die Ereignisse:
$H$ : hat Heuschnupfen
$T$ : Test ist positiv
Die Aufgabenstellung gibt folgende Wahrscheinlichkeiten an:
$P (H) = 0,15$
$P_{H} (T) = 0,9$
$P_{\overline{H}} (T) = 0,02$
Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist: $P (\overline{H} \cap T)$
Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt:
$P_{H} (T)$ $=$ $\frac{P (H \cap T)}{P (H)}$ $\cdot P (H)$
$P (H \cap T)$ $=$ $P_{H} (T) \cdot P (H)$
↓
$P (H) + P (H) = 1$
$=$ $0,02 \cdot (1 - 0,15)$
$=$ $0,017$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1,7 %.
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: $P_{H} (T) = \frac{P (H \cap T)}{P (H)}$

Deuten Sie den Term $\frac{0,15 \cdot 0,9}{0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02}$ im Sachzusammenhang. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Term im Zähler
Die Wahrscheinlichkeiten werden in der Aufgabenstellung gegeben:
Aufgabenstellung
↓
$0,15 \cdot 0,9$ $=$ $P (H) \cdot P_{H} (T)$
↓
Formel bedingte Wahrscheinlichkeit
$=$ $P (H \cap T)$
Term im Nenner
$0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02$ $=$ $P (H) \cdot P_{H} (T) + P (\overline{H}) \cdot P_{\overline{H}} (T)$
$=$ $P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T)$
↓
Beide Personengruppen zusammen sind diejenigen, deren Test positiv ist.
$=$ $P (T)$
Der Term $\frac{0,15 \cdot 0,9}{0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02} = \frac{P (H \cap T)}{P (T)}$ beschreibt den Anteil der positiv getesteten Personen, die wirklich Heuschnupfen haben.
Untersuche den Term im Zähler und verwende Teilaufgabe (a).
Untersuche den Term im Nenner und verwende, dass $P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T) = P (T)$ .
Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit kann hier wieder hilfreich sein.
5
Aufgabe P5
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $p = \frac{1}{4}$ .
Vervollständigen Sie die folgende Gleichung zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit:
$P (X =) = (\binom{}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot (-)^{2}$
. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Term vervollständigen
$P (X =) = (\binom{}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot (-)^{2}$
Die Trefferwahrscheinlichkeit kommt 3 mal vor, es wird also dreimal getroffen.
Die Gegenwahrscheinlichkeit $1 - p = \frac{3}{4}$ kommt 2 mal vor, es wird also zweimal nicht getroffen.
Damit ist $n = 5$ . Da dreimal getroffen wird, wird mit diesem Term $P (X = 3)$ berechnet:
$P (X = 3) = (\binom{5}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2}$
Untersuche den Term darauf, wie oft die Trefferwahrscheinlichkeit vorkommt.
Bestimme zudem, wie oft die Gegenwahrscheinlichkeit vorkommt, um die Anzahl der Durchführungen $n$ zu bestimmen.

Die Abbildung zeigt die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ .
Gegeben sind die Wahrscheinlichkeitswerte $P (Y \leq 15) \approx 0,78$ und $P (Y = 12) \approx 0,13$ .
Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte einen Näherungswert für die
Wahrscheinlichkeit $P (Y = 14)$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit $P (X = 14)$ bestimmen
Es gilt $P (X \leq 15) \approx 0,78$ .
Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P (X > 15) \approx 0,22$
Die Wahrscheinlichkeit $P (X = 12)$ ist wegen der Symmetrie gleich der Wahrscheinlichkeit $P (X = 15) \approx 0,13$ .
Verwende die Symmetrie, sodass die rechte Seite der Verteilung zusammen die Wahrscheinlichkeit $0,5$ ergeben muss:
Damit ist $P (X = 14) = 0,5 - 0,13 - 0,22 = 0,15$
Verwende, dass die Binomialverteilung näherungsweise symmetrisch um ihre Mitte ist.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 6 x$
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x$
	↓	Quadratische Ergänzung mit $3$
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} - 3^{2}$
	↓	Schreibe den vorderen Teil als Binom
	$=$	$(x - 3)^{2} - 3^{2}$
	↓	Berechne die Potenz
	$=$	$(x - 3)^{2} - 9$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 6 x$
	↓	Ableitung berechnen
$f^{'} (x)$	$=$	$2 x - 6$
	↓	Einsetzen der Stelle $x = - 2$
$f^{'} (- 2)$	$=$	$- 10$

$g (x)$	$=$	$f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$
	↓	Einsetzen
	$=$	$- 10 \cdot (x - (- 2)) + 16$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$- 10 x - 20 + 16$
	$=$	$- 10 x - 4$

Stammfunktion bestimmen
	↓
$\int_{0}^{1} f (x) d x$	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1$
	$=$	$- \frac{1}{4}$

Stammfunktion verwenden
	↓
$\int_{0}^{1} f (x) d x$	$=$	${[e^{x} + x]}_{0}^{1}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$e^{1} + 1 - (e^{0} + 0)$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$e + 1 - 1$
	$=$	$e$

$f (- x)$	$=$	$e^{- x} + 1$
	↓	Potenzgesetz
	$=$	${(\frac{1}{e})}^{x} + 1$

$P_{H} (T)$	$=$	$\frac{P (H \cap T)}{P (H)}$	$\cdot P (H)$
$P (H \cap T)$	$=$	$P_{H} (T) \cdot P (H)$
	↓	$P (H) + P (H) = 1$
	$=$	$0,02 \cdot (1 - 0,15)$
	$=$	$0,017$

Aufgabenstellung
	↓
$0,15 \cdot 0,9$	$=$	$P (H) \cdot P_{H} (T)$
	↓	Formel bedingte Wahrscheinlichkeit
	$=$	$P (H \cap T)$

$0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02$	$=$	$P (H) \cdot P_{H} (T) + P (\overline{H}) \cdot P_{\overline{H}} (T)$
	$=$	$P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T)$
	↓	Beide Personengruppen zusammen sind diejenigen, deren Test positiv ist.
	$=$	$P (T)$

Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P1

Scheitelform bestimmen

Steigung und Funktionswert berechnen

Tangente bestimmen

Aufgabe P2

Graph II

Graph III

Flächeninhalt von f und der x-Achse

Aufgabe P3

Integral berechnen

g aus f bestimmen

Aufgabe P4

Wahrscheinlichkeit berechnen

Term im Zähler

Term im Nenner

Aufgabe P5

Term vervollständigen

Wahrscheinlichkeit P(X=14) bestimmen

Flächeninhalt von $f$ und der x-Achse

$g$ aus $f$ bestimmen

Wahrscheinlichkeit $P (X = 14)$ bestimmen