Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $p = \frac{1}{4}$ .
Vervollständigen Sie die folgende Gleichung zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit:
$P (X =) = (\binom{}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot (-)^{2}$
. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Term vervollständigen
$P (X =) = (\binom{}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot (-)^{2}$
Die Trefferwahrscheinlichkeit kommt 3 mal vor, es wird also dreimal getroffen.
Die Gegenwahrscheinlichkeit $1 - p = \frac{3}{4}$ kommt 2 mal vor, es wird also zweimal nicht getroffen.
Damit ist $n = 5$ . Da dreimal getroffen wird, wird mit diesem Term $P (X = 3)$ berechnet:
$P (X = 3) = (\binom{5}{3}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2}$
Untersuche den Term darauf, wie oft die Trefferwahrscheinlichkeit vorkommt.
Bestimme zudem, wie oft die Gegenwahrscheinlichkeit vorkommt, um die Anzahl der Durchführungen $n$ zu bestimmen.
Die Abbildung zeigt die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ .
Gegeben sind die Wahrscheinlichkeitswerte $P (Y \leq 15) \approx 0,78$ und $P (Y = 12) \approx 0,13$ .
Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte einen Näherungswert für die
Wahrscheinlichkeit $P (Y = 14)$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit $P (X = 14)$ bestimmen
Es gilt $P (X \leq 15) \approx 0,78$ .
Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P (X > 15) \approx 0,22$
Die Wahrscheinlichkeit $P (X = 12)$ ist wegen der Symmetrie gleich der Wahrscheinlichkeit $P (X = 15) \approx 0,13$ .
Verwende die Symmetrie, sodass die rechte Seite der Verteilung zusammen die Wahrscheinlichkeit $0,5$ ergeben muss:
Damit ist $P (X = 14) = 0,5 - 0,13 - 0,22 = 0,15$
Verwende, dass die Binomialverteilung näherungsweise symmetrisch um ihre Mitte ist.