Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P4

Von den Personen, die einen bestimmten Allergietest machen, haben $15 %$ Heuschnupfen.

Der Test ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 %$ positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt $2 %$ .

Von den Personen, die den Test machen lassen, wird eine Person zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wir bezeichnen die Ereignisse:
$H$ : hat Heuschnupfen
$T$ : Test ist positiv
Die Aufgabenstellung gibt folgende Wahrscheinlichkeiten an:
$P (H) = 0,15$
$P_{H} (T) = 0,9$
$P_{\overline{H}} (T) = 0,02$
Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist: $P (\overline{H} \cap T)$
Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt:
$P_{H} (T)$ $=$ $\frac{P (H \cap T)}{P (H)}$ $\cdot P (H)$
$P (H \cap T)$ $=$ $P_{H} (T) \cdot P (H)$
↓
$P (H) + P (H) = 1$
$=$ $0,02 \cdot (1 - 0,15)$
$=$ $0,017$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1,7 %.
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: $P_{H} (T) = \frac{P (H \cap T)}{P (H)}$
Deuten Sie den Term $\frac{0,15 \cdot 0,9}{0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02}$ im Sachzusammenhang. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Term im Zähler
Die Wahrscheinlichkeiten werden in der Aufgabenstellung gegeben:
Aufgabenstellung
↓
$0,15 \cdot 0,9$ $=$ $P (H) \cdot P_{H} (T)$
↓
Formel bedingte Wahrscheinlichkeit
$=$ $P (H \cap T)$
Term im Nenner
$0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02$ $=$ $P (H) \cdot P_{H} (T) + P (\overline{H}) \cdot P_{\overline{H}} (T)$
$=$ $P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T)$
↓
Beide Personengruppen zusammen sind diejenigen, deren Test positiv ist.
$=$ $P (T)$
Der Term $\frac{0,15 \cdot 0,9}{0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02} = \frac{P (H \cap T)}{P (T)}$ beschreibt den Anteil der positiv getesteten Personen, die wirklich Heuschnupfen haben.
Untersuche den Term im Zähler und verwende Teilaufgabe (a).
Untersuche den Term im Nenner und verwende, dass $P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T) = P (T)$ .
Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit kann hier wieder hilfreich sein.

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$P_{H} (T)$	$=$	$\frac{P (H \cap T)}{P (H)}$	$\cdot P (H)$
$P (H \cap T)$	$=$	$P_{H} (T) \cdot P (H)$
	↓	$P (H) + P (H) = 1$
	$=$	$0,02 \cdot (1 - 0,15)$
	$=$	$0,017$

Aufgabenstellung
	↓
$0,15 \cdot 0,9$	$=$	$P (H) \cdot P_{H} (T)$
	↓	Formel bedingte Wahrscheinlichkeit
	$=$	$P (H \cap T)$

$0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02$	$=$	$P (H) \cdot P_{H} (T) + P (\overline{H}) \cdot P_{\overline{H}} (T)$
	$=$	$P (H \cap T) + P (\overline{H} \cap T)$
	↓	Beide Personengruppen zusammen sind diejenigen, deren Test positiv ist.
	$=$	$P (T)$

Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P4

Wahrscheinlichkeit berechnen

Term im Zähler

Term im Nenner