Pflichtteil

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2022, Pflichtteil. Zum Download hier.

1
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1
Für eine Funktion $h$ gilt: $h^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 24$ .
Bestimmen Sie die Extremstellen des Graphen von $h$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ableitung $0$ setzen und Extremstellen bestimmen
$h^{'} (x)$ $=$ $x^{2} - 2 x - 24$
↓
0 setzen
$0$ $=$ $x^{2} - 2 x - 24$
↓
Lösen mit $p q$ -Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
$p = - 2, q = - 24$
$=$ $- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 24)}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $1 \pm \sqrt{1 + 24}$
$=$ $1 \pm 5$
$x_{1}$ $=$ $6$
$x_{2}$ $=$ $- 4$
Die Extremstellen sind $x_{1} = 6$ und $x_{2} = - 4$ . Achte darauf, dass hier nicht nach den Extrempunkten gesucht ist. Die y-Koordinate kann ohne Weiteres auch nicht bestimmt werden.
Setze die Ableitung $h^{'} (x)$ gleich 0.
Bestimme mithilfe dieser Gleichung die Stellen $x_{1,2}$ .

Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen 1, 2 und -3.
Für $f$ gilt außerdem: $\lim_{x \to \infty} f (x) \to - \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} f (x) \to - \infty$
Geben Sie eine Funktionsgleichung für $f$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Funktionsterm in Nullstellenform/Produktform
Die Nullstellen können direkt in den Funktionsterm übersetzt werden:
$f (x) = a \cdot (x - 1)^{k_{1}} \cdot (x - 2)^{k_{2}} \cdot (x + 3)^{k_{3}}$
Anpassung des Funktionsterms
Die Funktion verläuft nach der Aufgabenstellung so: Sie kommt von unten und geht nach unten. Das bedeutet:
Der Grad der Funktion ist gerade.
Der Leitkoeffizient hat ein negatives Vorzeichen.
Eine mögliche Lösung wäre also:
$f (x) = - (x - 1)^{2} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$
Stelle den Funktionsterm in der Nullstellenform/Produktform auf.
Untersuche die Grenzwerte der Funktion und
passe das Vorzeichen an
passe die Vielfachheit der Nullstellen an
2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2
Betrachtet werden die in $ℝ$ definierten
Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine
Stammfunktion von $f$ ist.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $F$ .
Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{1}^{7} f (x) d x$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Werte der Stammfunktion
Die Stammfunktion hat die Funktionswerte:
$F (7) = 5$
$F (1) = 1$
Wert des Integrals
Das Integral ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
$\int_{1}^{7} f (x) d x$ $=$ $F (7) - F (1)$
↓
Einsetzen
$=$ $5 - 1$
$=$ $4$
Lies die Funktionswerte $F (7)$ und $F (1)$ aus dem Schaubild ab.
Bestimme den Wert des Integrals.

Bestimmen Sie den Funktionswert von $f$ an der Stelle 1.
Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Funktionswert $f (1)$
Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
Die Ableitung von $F$ ist die Funktion $f$ .
Der Funktionswert $f (1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x = 1$ hat.
Mithilfe des Schaubilds gilt: $F^{'} (1) = f (1) = \frac{4}{1} = 4$
Schaubild mit Steigungsdreieck
Bestimme die Steigung von $F$ an der Stelle $x = 1$ .
Verwende das Schaubild und skizziere ein Steigungsdreieck.

Aufgabe 3

Betrachtet werden die in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{k}$ mit $f_{k} (x) = k \cdot e^{- x} + 3$ und $k \neq 0$ .

Zeigen Sie, dass $f_{k}^{'} (0) = - k$ gilt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Ableitung bestimmen
$f_{k} (x)$ $=$ $k \cdot e^{- x} + 3$
↓
Kettenregel mit $e^{- x}$
$f_{k}^{'} (x)$ $=$ $k \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
↓
Vereinfachen
$=$ $- k \cdot e^{- x}$
$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen
$x = 0$ einsetzen in Ableitung
↓
$f_{k}^{'} (0)$ $=$ $- k \cdot e^{- 0}$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $- k \cdot 1$
$=$ $- k$
Bestimme die Ableitung $f^{'} (x)$ mit der Kettenregel.
Setze den Wert $x = 0$ in die Ableitungsfunktion ein.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$ , für die die Tangente im Punkt $(0 | f_{k} (0))$ an den Graphen von $f_{k}$ eine positive Steigung hat und ihre Schnittstelle mit der $x$ -Achse größer als $\frac{1}{2}$ ist. (4 BE)

4
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 4
Wird der Punkt $P (1 | 2 | 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q (7 | 2 | 11)$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatenform der Ebene (Kurs mit integrierten Aufgaben) (1|5)
Verbindungsvektor $\vec{P Q}$
Der Verbindungsvektor lautet: $\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 7 - 1 \\ 2 - 2 \\ 11 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 8 \end{array})$
Punkt auf der Ebene
Zwischen $P$ und $Q$ liegt ein Punkt $A$ auf der Ebene mit dem Ortsvektor:
$\vec{O A} = \vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot \vec{P Q} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 7 \end{array})$
Koordinatenform der Ebene
Für die Koordinatenform verwende den gekürzten Normalenvektor $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ .
$E : d$ $=$ $x n_{1} + y n_{2} + z n_{3}$
↓
Einsetzen des Normalenvektors
$d$ $=$ $3 x + 4 z$
↓
$x$ und $z$ von $A$ einsetzen, um $d$ zu bestimmen
$d$ $=$ $3 \cdot 4 + 4 \cdot 7$
$=$ $40$
Die Koordinatenform ist insgesamt: $E : 40 = 3 x + 4 z$
VorsichtAbweichende Ergebnisse
Je nachdem, ob man den Normalenvektor kürzt oder nicht, können äquivalente Koordinatenformen entstehen. Richtig wäre auch:
$E : 80 = 6 x + 8 z$
Bestimme den Verbindungsvektor $\vec{P Q}$
Berechne die Koordinaten des Punktes, der auf halber Strecke von $P$ nach $Q$ liegt. Dieser Punkt liegt in der Ebene.
Verwende den Verbindungsvektor als Normalenvektor für die Ebene und stelle die Koordinatenform auf.

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ . Dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
Koordinaten von $R$
Da die Ebene die Strecken $P Q$ und $R S$ jeweils halbiert und $| R S |$ das Doppelte von $| P Q |$ ist, gilt:
$R$ liegt doppelt so weit von der Ebene entfernt wie $P$ .
Wir gehen den Vektor $\frac{1}{2} \vec{P Q}$ von $P$ aus in Richtung $R$ :
Skizze der Aufgabe
$\vec{O R}$ $=$ $\vec{O P} - \underset{Verbindung von P nach R}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \vec{P Q}}}$
$=$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Die Koordinaten sind $R (- 2 | 2 | - 1)$ .
Hilfreich ist es, eine Skizze anzulegen.
Berechne den Vektor $\vec{O P} - \frac{1}{2} \vec{P Q}$ .
5
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert aus dem Intervall $[6; 10]$ annimmt, beträgt etwa $68 %$ .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer als 10 ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Wahrscheinlichkeit für $A$ größer als $10$
Wenn $P (6 \leq A \leq 10) = 68 %$ beträgt, dann ist:
$P (A \leq 6) + P (A \geq 10) = 32 %$
Denn insgesamt muss die Wahrscheinlichkeit $100 %$ betragen.
Skizze der Verteilung
Da die Verteilung symmetrisch um den Erwartungswert $μ = 8$ ist, teilen sich $P (A \leq 6)$ und $P (A \geq 10)$ die gleiche Wahrscheinlichkeit.
$\Rightarrow P (A \geq 10) = 16 %$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ einen Wert außerhalb $[6; 10]$ annimmt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ größer 10 ist.
Verwende hierzu, dass die Normalverteilung symmetrisch ist.

Die Zufallsgröße $B$ ist ebenfalls normalverteilt. Der Erwartungswert von $B$ ist ebenso groß wie der Erwartungswert von $A$ , die Standardabweichung von $B$ ist größer als die Standardabweichung von $A$ .
Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B$ .
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Beispiel einer breiteren Verteilung
Beispiellösung mit $σ = 3$ .
Jede Verteilung mit $σ > 2$ wäre richtig.
Veranschaulichung
Verändere $σ$ . Hier kannst du dir verschiedene Verteilungen anzeigen lassen.
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Skizziere eine Normalverteilung mit größerer Breite.
Achte darauf, dass die Verteilung aufgrund der größeren Breite flacher in der Mitte ist.
6
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 6
Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt die spielende Person die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird der spielenden Person die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt. Ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent.
Ermitteln Sie, wie die spielende Person die Anzahl blauer Kugeln für ein Spiel festlegen muss, damit der Erwartungswert der Auszahlung möglichst groß ist. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert
Wir nennen die Anzahl der blauen Kugeln $x$ .
Die möglichen Ereignisse sind:
Person zieht rot mit $P (rot) = \frac{100 - x}{100}$
Person zieht blau mit $P (blau) = \frac{x}{100}$
Zusammen mit den Gewinnen ergibt sich für den Erwartungswert:
$E (x)$ $=$ $P (r o t) \cdot {Auszahlung}_{r o t} + P (b l a u) \cdot {Auszahlung}_{b l a u}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{100 - x}{100} \cdot x + \frac{x}{100} \cdot 10$
Maximum des Erwartungswerts
Der Erwartungswert ist eine Funktion in Abhängigkeit von $x$ "Anzahl der blauen Kugeln".
$E (x)$ $=$ $\frac{100 - x}{100} \cdot x + \frac{x}{100} \cdot 10$
↓
Suche Maximum, zum Beispiel durch Ableiten
$E^{'} (x)$ $=$ $\frac{100}{100} - \frac{1}{100} 2 x + \frac{10}{100}$
↓
Zusammenfassen und 0 setzen
$0$ $=$ $1,1 - \frac{2}{100} x$ $+ \frac{2}{100} x$
$\frac{2}{100} x$ $=$ $1,1$ $\cdot 100$
$2 x$ $=$ $110$ $: 2$
$x$ $=$ $55$
Der maximale Gewinn wird erwartungsgemäß für $55$ blaue Kugeln erzielt.
Stelle den Erwartungswert auf in Abhängigkeit der Anzahl der blauen Kugeln.
Bestimme das Maximum dieser Funktion.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f_{t} (x)$	$=$	$- k \cdot x + k + 3$
	↓	An der Nullstelle gilt $f_{t} (x) = 0$
$0$	$=$	$- k \cdot x + k + 3$	$+ k x$
$k x$	$=$	$k + 3$	$: k$
$x$	$=$	$\frac{k + 3}{k}$
	↓	$x$ soll größer sein als $\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$	$<$	$\frac{k + 3}{k}$	$\cdot k$
	↓	Das Vorzeichen muss sich drehen, weil $k$ negativ ist.
$\frac{1}{2} \cdot k$	$>$	$k + 3$	$- k$
$- \frac{1}{2} \cdot k$	$>$	$3$	$\cdot (- 1)$
	↓	Das Vorzeichen dreht sich.
$\frac{1}{2} \cdot k$	$<$	$- 3$	$\cdot 2$
$k$	$<$	$- 6$

Pflichtteil

Aufgabe 1

Ableitung $0$ setzen und Extremstellen bestimmen

Funktionsterm in Nullstellenform/Produktform

Anpassung des Funktionsterms

Aufgabe 2

Werte der Stammfunktion

Wert des Integrals

Funktionswert $f (1)$

Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen

Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

Aufgabe 4

Verbindungsvektor $\vec{P Q}$

Punkt auf der Ebene

Koordinatenform der Ebene

Koordinaten von $R$

Aufgabe 5

Wahrscheinlichkeit für $A$ größer als $10$

Beispiel einer breiteren Verteilung

Veranschaulichung

Aufgabe 6

Erwartungswert

Maximum des Erwartungswerts

$h^{'} (x)$	$=$	$x^{2} - 2 x - 24$
	↓	0 setzen
$0$	$=$	$x^{2} - 2 x - 24$
	↓	Lösen mit $p q$ -Formel.
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	$p = - 2, q = - 24$
	$=$	$- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 24)}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$1 \pm \sqrt{1 + 24}$
	$=$	$1 \pm 5$
$x_{1}$	$=$	$6$
$x_{2}$	$=$	$- 4$

$\int_{1}^{7} f (x) d x$	$=$	$F (7) - F (1)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$5 - 1$
	$=$	$4$

$f_{k} (x)$	$=$	$k \cdot e^{- x} + 3$
	↓	Kettenregel mit $e^{- x}$
$f_{k}^{'} (x)$	$=$	$k \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$- k \cdot e^{- x}$

$x = 0$ einsetzen in Ableitung
	↓
$f_{k}^{'} (0)$	$=$	$- k \cdot e^{- 0}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$- k \cdot 1$
	$=$	$- k$

Tangentenformel
	↓
$f_{k} (x)$	$=$	$f_{k}^{'} (x) \cdot (x - x_{0}) + f_{k} (x_{0})$
	↓	$x_{0} = 0$ einsetzen
	$=$	$f_{k}^{'} (0) \cdot (x - 0) + f_{k} (0)$
	↓	Verwende $f_{k}^{'} (0) = - k$ (letzte Teilaufgabe)
	$=$	$- k \cdot x + f_{k} (0)$
	↓	Berechne $f_{k} (0) = k \cdot e^{0} + 3 = k + 3$
	$=$	$\underset{Steigung}{\underset{⏟}{- k}} \cdot x + \underset{y-Achsenabschnitt}{\underset{⏟}{k + 3}}$

$E : d$	$=$	$x n_{1} + y n_{2} + z n_{3}$
	↓	Einsetzen des Normalenvektors
$d$	$=$	$3 x + 4 z$
	↓	$x$ und $z$ von $A$ einsetzen, um $d$ zu bestimmen
$d$	$=$	$3 \cdot 4 + 4 \cdot 7$
	$=$	$40$

$\vec{O R}$	$=$	$\vec{O P} - \underset{Verbindung von P nach R}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \vec{P Q}}}$
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

$E (x)$	$=$	$P (r o t) \cdot {Auszahlung}_{r o t} + P (b l a u) \cdot {Auszahlung}_{b l a u}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{100 - x}{100} \cdot x + \frac{x}{100} \cdot 10$

$E (x)$	$=$	$\frac{100 - x}{100} \cdot x + \frac{x}{100} \cdot 10$
	↓	Suche Maximum, zum Beispiel durch Ableiten
$E^{'} (x)$	$=$	$\frac{100}{100} - \frac{1}{100} 2 x + \frac{10}{100}$
	↓	Zusammenfassen und 0 setzen
$0$	$=$	$1,1 - \frac{2}{100} x$	$+ \frac{2}{100} x$
$\frac{2}{100} x$	$=$	$1,1$	$\cdot 100$
$2 x$	$=$	$110$	$: 2$
$x$	$=$	$55$

Pflichtteil

Aufgabe 1

Ableitung 0 setzen und Extremstellen bestimmen

Funktionsterm in Nullstellenform/Produktform

Anpassung des Funktionsterms

Aufgabe 2

Werte der Stammfunktion

Wert des Integrals

Funktionswert f(1)

Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

fk′(0) bestimmen

Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

Aufgabe 4

Verbindungsvektor PQ→

Punkt auf der Ebene

Koordinatenform der Ebene

Koordinaten von R

Aufgabe 5

Wahrscheinlichkeit für A größer als 10

Beispiel einer breiteren Verteilung

Veranschaulichung

Aufgabe 6

Erwartungswert

Maximum des Erwartungswerts

Ableitung $0$ setzen und Extremstellen bestimmen

Funktionswert $f (1)$

$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen

Verbindungsvektor $\vec{P Q}$

Koordinaten von $R$

Wahrscheinlichkeit für $A$ größer als $10$