Pflichtteil

Aufgabe 3

Betrachtet werden die in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{k}$ mit $f_{k} (x) = k \cdot e^{- x} + 3$ und $k \neq 0$ .

Zeigen Sie, dass $f_{k}^{'} (0) = - k$ gilt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Ableitung bestimmen
$f_{k} (x)$ $=$ $k \cdot e^{- x} + 3$
↓
Kettenregel mit $e^{- x}$
$f_{k}^{'} (x)$ $=$ $k \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
↓
Vereinfachen
$=$ $- k \cdot e^{- x}$
$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen
$x = 0$ einsetzen in Ableitung
↓
$f_{k}^{'} (0)$ $=$ $- k \cdot e^{- 0}$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $- k \cdot 1$
$=$ $- k$
Bestimme die Ableitung $f^{'} (x)$ mit der Kettenregel.
Setze den Wert $x = 0$ in die Ableitungsfunktion ein.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$ , für die die Tangente im Punkt $(0 | f_{k} (0))$ an den Graphen von $f_{k}$ eine positive Steigung hat und ihre Schnittstelle mit der $x$ -Achse größer als $\frac{1}{2}$ ist. (4 BE)

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$f_{t} (x)$	$=$	$- k \cdot x + k + 3$
	↓	An der Nullstelle gilt $f_{t} (x) = 0$
$0$	$=$	$- k \cdot x + k + 3$	$+ k x$
$k x$	$=$	$k + 3$	$: k$
$x$	$=$	$\frac{k + 3}{k}$
	↓	$x$ soll größer sein als $\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$	$<$	$\frac{k + 3}{k}$	$\cdot k$
	↓	Das Vorzeichen muss sich drehen, weil $k$ negativ ist.
$\frac{1}{2} \cdot k$	$>$	$k + 3$	$- k$
$- \frac{1}{2} \cdot k$	$>$	$3$	$\cdot (- 1)$
	↓	Das Vorzeichen dreht sich.
$\frac{1}{2} \cdot k$	$<$	$- 3$	$\cdot 2$
$k$	$<$	$- 6$

Pflichtteil

Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen

Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

$f_{k} (x)$	$=$	$k \cdot e^{- x} + 3$
	↓	Kettenregel mit $e^{- x}$
$f_{k}^{'} (x)$	$=$	$k \cdot (- 1) \cdot e^{- x}$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$- k \cdot e^{- x}$

$x = 0$ einsetzen in Ableitung
	↓
$f_{k}^{'} (0)$	$=$	$- k \cdot e^{- 0}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$- k \cdot 1$
	$=$	$- k$

Tangentenformel
	↓
$f_{k} (x)$	$=$	$f_{k}^{'} (x) \cdot (x - x_{0}) + f_{k} (x_{0})$
	↓	$x_{0} = 0$ einsetzen
	$=$	$f_{k}^{'} (0) \cdot (x - 0) + f_{k} (0)$
	↓	Verwende $f_{k}^{'} (0) = - k$ (letzte Teilaufgabe)
	$=$	$- k \cdot x + f_{k} (0)$
	↓	Berechne $f_{k} (0) = k \cdot e^{0} + 3 = k + 3$
	$=$	$\underset{Steigung}{\underset{⏟}{- k}} \cdot x + \underset{y-Achsenabschnitt}{\underset{⏟}{k + 3}}$

Pflichtteil

Aufgabe 3

Ableitung bestimmen

fk′(0) bestimmen

Tangentengleichung

Nullstelle der Tangente

$f_{k}^{'} (0)$ bestimmen