Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

In diesen Aufgaben lernst du Stammfunktionen zu berechnen. Du findest beispielsweise die Stammfunktion von Polynomen oder trigonometrischen Funktionen.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

Bestimme diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft.

2
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x + 1$ .
$F (x)$ sei eine Stammfunktion von $f (x)$ und $G_{F}$ der Graph von $F (x)$ .
Bestimme diejenige Stammfunktion, für die gilt
$(0 | 0) \in G_{F}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Integration
$f (x) = x + 1$
Integriere nun die Funktion.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
$c$ bestimmen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze den gegeben Punkt $(0 | 0)$ in $F (x)$ ein.
$0 = \frac{1}{2} 0^{2} + 0 + c$
$0 = c$
Stammfunktion aufstellen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze das gefundene $c$ ein.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 0$
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$

$(0 | 1) \in G_{F}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Integration
$f (x) = x + 1$
Integriere die Funktion.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
c bestimmen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze den gegeben Punkt $(0 | 1)$ in $F (x)$ ein.
$1 = \frac{1}{2} 0^{2} + 0 + c$
$1 = c$
Stammfunktion aufstellen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze das gefundene $c = 1$ ein.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$

$(1 | 0) \in G_{F}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Integration
$f (x) = x + 1$
Integriere die Funktion.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
$c$ bestimmen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze den gegeben Punkt $(1 | 0)$ in $F (x)$ ein.
$0 = \frac{1}{2} 1^{2} + 1 + c$
$0 = \frac{3}{2} + c$
$c = - \frac{3}{2}$
Stammfunktion aufstellen
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Setze das gefundene $c = - \frac{3}{2}$ ein.
$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{3}{2}$
3
Notiere die Menge aller Stammfunktionen zur gegebenen Funktion.
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$f (x) = x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $x^{2}$
$\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = 2 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 2 x^{2}$
Integriere die Funktion $f$ .
1. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 2 x^{2} d x$ $=$ $2 \int_{}^{} x^{2} d x$
↓
Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $x$
↓
Integriere
$\int_{}^{} x d x$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $- 2 x$
↓
Integriere
$\int_{}^{} - 2 x d x$ $=$
↓
$ 1$ . Linearitätseigenschaft
$=$ $- 2 \int_{}^{} x d x$
↓
Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
$=$ $- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
↓
Fasse zusammen.
$F (x)$ $=$ $- x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
Integriere die Funktion $f$ :
1. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{6} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = - \frac{1}{4} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = - \frac{1}{4} x$
Integriere die Funktion $f$ :
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$ $=$ $- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
$F (x)$ $=$ $- \frac{1}{8} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x^{3}$
Integriere die Funktion $f$ :
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
↓
$\int_{}^{} x^{3} d x$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = 4 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 4 x^{3}$
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 4 x^{3} d x$ $=$ $4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
$=$ $4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$ $=$ $x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 2$
Integriere die Funktion $f$ :
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 2 d x$ $=$ $2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $2 x + C$
$F (x)$ $=$ $2 x + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x + 1$
Integriere die Funktion $f$ :
2. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} x + 1 d x$ $=$ $\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = x^{2} + x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x^{2} + x - 3$
2.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$ $=$ $\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$ $(C \in ℝ)$

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$f (x) = x^{n}; n \in ℕ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
$f (x)$ $=$ $x^{n}; n \in ℕ$
↓
Integriere
$\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ $(C \in ℝ)$
4
Bestimme für die folgende verkettete Funktion eine Stammfunktion.
$f (x) = \sin (12 x - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$\int \sin (12 x - 3) d x$
Integriere zunächst die äußere Funktion $\sin (x)$ .
$\int \sin (x) d x = - \cos (x) + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss (Kettenregel).
In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (12 x - 3)$ . Beim Ableiten der Funktion $g$ würde sich der Faktor $12$ beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin (12 x - 3)$ noch mit $\frac{1}{12}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 12 auszugleichen.
$\int \sin (12 x - 3) d x =$
$= - \cos (12 x - 3) \cdot \frac{1}{12} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = - \cos (12 x - 3) \cdot \frac{1}{12} + C$

$f (x) = {(2 x - 3)}^{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = {(2 x - 3)}^{8}$
Integriere zuerst $x^{8}$
$\int_{}^{} x^{8} d x = \frac{1}{9} x^{9} + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (2 x - 3)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $(2 x - 3)^{8}$ noch mit $\frac{1}{2}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.
$\int {(2 x - 3)}^{8} d x =$
$= \frac{1}{9} {(2 x - 3)}^{9} \cdot \frac{1}{2} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{1}{18} {(2 x - 3)}^{9} + C$

$f (x) = \sin (3 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \sin (3 x)$
Integriere zunächst $\sin (x)$ .
$\int_{}^{} \sin (x) d x = - \cos (x) + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (3 x)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin (3 x)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.
$\int \sin (3 x) d x$
$= - \cos (3 x) \cdot \frac{1}{3} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = - \cos (3 x) \cdot \frac{1}{3} + C$

$f (x) = \sin (x - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \sin (x - 3)$
Integriere zunächst $\sin (x)$ .
$\int_{}^{} \sin (x) d x = - \cos (x) + C$
Da hier die Ableitung der inneren Funktion $g (x) = x - 3$ , gleich 1 ist, musst du, um die Stammfunktion zu erhalten, nicht mehr nachbessern.
$\int \sin (x - 3) d x =$
$= - \cos (x - 3) \cdot 1 + C$
$= - \cos (x - 3) + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = - \cos (x - 3) + C$

$f (x) = \cos (- x - 13)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \cos (- x - 13)$
Integriere zuerst die äußere Funktion $\cos (x)$ .
$\int_{}^{} \cos (x) d x = \sin (x) + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (- x - 13)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor -1 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\cos (- x - 13)$ noch mit -1 multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor -1 auszugleichen.
$\int \cos (- x - 13) d x$
$= \sin (- x - 13) \cdot (- 1) + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = - \sin (- x - 13) + C$

$f (x) = - 5 \sin (3 x - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = - 5 \sin (3 x - 2)$
Integriere zunächst $\sin (x)$ .
$\int_{}^{} \sin (x) d x = - \cos (x) + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (3 x - 2)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin (3 x - 2)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.
$\int - 5 \cdot \sin (3 x - 2) d x =$
$= 5 \cos (3 x - 2) \cdot \frac{1}{3} + C$
$= \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x - 2) + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x - 2) + C^{}$

$f (x) = \frac{1}{16} {(40 x - 3,5)}^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \frac{1}{16} {(40 x - 3,5)}^{3}$
Berechne zuerst das Integral der äußeren Funktion $\frac{1}{16} x^{3}$ .
$\int_{}^{} \frac{1}{16} x^{3} d x = \frac{1}{64} x^{4} + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (40 x - 3,5)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 40 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{1}{16} (40 x - 3,5)^{3}$ noch mit $\frac{1}{40}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 40 auszugleichen.
$\int \frac{1}{16} {(40 x - 3,5)}^{3} d x =$
$= \frac{1}{64} (40 x - 3,5)^{4} \cdot \frac{1}{40} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{1}{2560} (40 x - 3,5)^{4} + C$

$f (x) = \frac{\sin (2 x)}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \frac{\sin (2 x)}{3}$
Berechne zunächst die Ableitung der äußeren Funktion $\frac{\sin (x)}{3}$
$\int \frac{\sin (x)}{3} d x = - \frac{1}{3} \cos (x) + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (2 x)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{\sin (2 x)}{3}$ noch mit $\frac{1}{2}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.
$\int \frac{\sin (2 x)}{3}$
$= - \frac{\cos (2 x)}{3} \cdot \frac{1}{2} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{- \cos (2 x)}{6} + C$

$f (x) = e^{3 x + 7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = e^{3 x + 7}$
Berechne zunächst das Integral der äußeren Funktion $e^{x}$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = (3 x + 7)$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $e^{3 x + 7}$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.
$\int e^{3 x + 7} d x =$
$= e^{3 x + 7} \cdot \frac{1}{3} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x + 7} + C$

$f (x) = \frac{π}{2} e^{7 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \frac{π}{2} e^{7 x}$
Berechne zunächst die Stammfunktion der äußeren Funktion $\frac{π}{2} e^{x}$
$\int \frac{π}{2} e^{x} d x = \frac{π}{2} e^{x} + C$
Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g (x) = 7 x$ ; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 7 beim Nachdifferenzieren ergeben.
Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{π}{2} e^{7 x}$ noch mit $\frac{1}{7}$ multipliziert werden.
$\int \frac{π}{2} e^{7 x} d x =$
$= \frac{π}{2} e^{7 x} \cdot \frac{1}{7} + C$
Ergebnis: Die Stammfunktion ist:
$F (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{π}{2} e^{7 x} + C$

Vereinfache die folgenden Funktionen so weit wie möglich und bilde eine Stammfunktion.

$f (x) = \frac{7}{x^{- 2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.
$f (x)$ $=$ $\frac{7}{x^{- 2}}$
↓
Wende nun das Potenzgesetz für negative Exponeneten an.
$=$ $7 \cdot x^{- (- 2)}$
↓
Vereinfache den Exponenten.
$=$ $7 x^{2}$
Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot 7 \cdot x^{3} + C$
$=$ $\frac{7}{3} x^{3} + C$
↓
mit $C \in ℝ$
Eine Stammfunktion von $f (x)$ ist $F (x) = \frac{7}{3} x^{3} + C$ mit $C \in ℝ$ .
$g (x) = \frac{6}{x^{- 3}} + \frac{2}{x^{- 1}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.
$g (x)$ $=$ $\frac{6}{x^{- 3}} + \frac{2}{x^{- 1}}$
↓
Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
$=$ $6 \cdot x^{- (- 3)} + 2 \cdot x^{- (- 1)}$
↓
Vereinfache die Exponenten.
$=$ $6 \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{1}$
$=$ $6 x^{3} + 2 x$
Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.
$G (x)$ $=$ $6 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2} + C$
↓
mit $C \in ℝ$
$=$ $\frac{3}{2} x^{4} + x^{2} + C$
Eine Stammfunktion von $g (x)$ ist $G (x) = \frac{3}{2} x^{4} + x^{2} + C$ mit $C \in ℝ$ .

$h (x) = \frac{4}{x^{- 2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

$k (x) = \frac{3}{x^{4}} \cdot \frac{2}{x^{- 2}}$

6
Bestimme alle Stammfunktionen für folgende komplizierteren Funktionen.
$f (x) = \frac{1}{x \ln x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen finden
$\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \ln x} d x$
Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.
$\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \ln x} d x = \int_{}^{} \frac{1 \cdot 1}{x \cdot \ln x} d x = \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x}$
Ziehe $\frac{1}{x}$ in den Zähler, damit ein Bruch der Form $\frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ entsteht.
$\int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} = \int_{} \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} d x$
Da $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ hilft dir die Regel $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + c$
$\int_{} \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} d x = \ln | \ln x | + C$
Deswegen ist
$F (x) = \ln | \ln x | + C$

$f (x) = e^{x - e^{x}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen finden
$\int f (x) d x = \int e^{x - e^{x}} d x$
Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.
$\int e^{x - e^{x}} d x = \int e^{x} \cdot e^{- e^{x}} d x$
Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: $(e^{- e^{x}})^{'} = - e^{x} \cdot e^{- e^{x}}$
Die zu integrierende Funktion unterscheidet sich nur durch ein Minus! Da du in deinem Integral nicht einfach ein Minus hinzufügen kannst, setze insgesamt zwei ein, denn gemeinsam ergeben sie wieder Plus!
$\int e^{x} \cdot e^{- e^{x}} d x = \int - (- e^{x} \cdot e^{- e^{x}}) d x$
Ziehe eines der beiden vor das Integral.
$\int - (- e^{x} \cdot e^{- e^{x}}) d x = - \int - e^{x} \cdot e^{- e^{x}} d x$
Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von $e^{- e^{x}}$ . Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)
$- \int - e^{x} \cdot e^{- e^{x}} d x = - e^{- e^{x}} + C$
Deswegen ist
$F (x) = - e^{- e^{x}} + C$
7
Finde eine Stammfunktion für die $e$ -Funktion mithilfe des Formansatzes.
$f (x) = (4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Damit $F (x)$ eine Stammfunktion von $f (x)$ ist, muss gelten $F^{'} (x) = f (x)$ .
Bilde die Ableitung von $F (x) = (a x + b) \cdot e^{2 x}$ , beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.
$F^{'} (x) = a \cdot e^{2 x} + (a x + b) \cdot e^{2 x} \cdot 2 = (2 a x + 2 b + a) \cdot e^{2 x}$
Der Koeffizientenvergleich von $f (x)$ und $F^{'} (x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:
$I 4 = 2 a \Rightarrow a = 2$
$II - 2 = 2 b + a$
Setze $a = 2$ in Gleichung $II$ ein $\Rightarrow - 2 = 2 b + 2 \Rightarrow b = - 2$
Mit $a = 2$ und $b = - 2$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:
$F (x) = (2 x - 2) \cdot e^{2 x} + C$
Der Term vor der $e$ -Funktion ist linear. Verwende deshalb einen Ansatz mit einer allgemeinen linearen Funktion $a x + b$ . Der Formansatz für die Stammfunktion lautet dann $F (x) = (a x + b) \cdot e^{2 x}$ . Bilde die Ableitung von $F (x)$ und führe einen Koeffizientenvergleich mit $f (x)$ durch.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Damit $F (x)$ eine Stammfunktion von $f (x)$ ist, muss gelten $F^{'} (x) = f (x)$ .
Bilde die Ableitung von $F (x) = (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x}$ , beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.
$F^{'} (x) = (2 a x + b) \cdot e^{2 x} + (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$
$F^{'} (x) = (2 a x + b + (- 2) \cdot (a x^{2} + b x + c)) \cdot e^{- 2 x}$
$F^{'} (x) = (- 2 a x^{2} - 2 b x - 2 c + 2 a x + b) \cdot e^{- 2 x}$
$F^{'} (x) = (- 2 a x^{2} + (2 a - 2 b) x + b - 2 c) \cdot e^{- 2 x}$
Beachte bei der Funktion $f (x)$ den Einschub des Terms $0 \cdot x$ .
Der Koeffizientenvergleich von $f (x)$ und $F^{'} (x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:
$I 2 = - 2 a \Rightarrow a = - 1$
$II 0 = 2 a - 2 b \Rightarrow a = b$
$III - 1 = b - 2 c$
Setze $a = - 1$ in $II$ ein $\Rightarrow b = - 1$
Setze $b = - 1$ in $III$ ein $\Rightarrow - 1 = - 1 - 2 c \Rightarrow c = 0$
Mit $a = - 1$ , $b = - 1$ und $c = 0$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:
$F (x) = (- x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x} + C$
Der Term vor der $e$ -Funktion ist quadratisch. Verwende deshalb einen Ansatz mit einer allgemeinen quadratischen Funktion $a x^{2} + b x + c$ . Der Formansatz für die Stammfunktion lautet dann $F (x) = (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x}$ . Bilde die Ableitung von $F (x)$ und führe einen Koeffizientenvergleich mit $f (x)$ durch.

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$\int_{}^{} f (x) d x$	$=$	$\int_{}^{} 6 \cdot \sqrt{x} d x$
	↓	Setze $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ein.
	$=$	$\int_{}^{} 6 \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$
	↓	Beachte die Potenzregel. Addiere in Exponenten eine $1$ und teile durch den neuen Exponenten.
	$=$	$\frac{6}{\frac{1}{2} + 1} \cdot x^{\frac{1}{2} + 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{6}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Multipliziere $6$ mit dem Kehrwert von $\frac{3}{2}$ .
	$=$	$6 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{12}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$4 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

$F (x)$	$=$	$4 \cdot x^{\frac{3}{2}} + C$
	↓	Setze den Punkt $(1 \| 0)$ in $F (x)$ ein.
$0$	$=$	$4 \cdot 1^{\frac{3}{2}} + C$
	↓	Vereinfache $1^{\frac{3}{2}} = 1$ und $4 \cdot 1 = 4$ .
$0$	$=$	$4 + C$	$- 4$
	↓	Löse nach $C$ auf.
$- 4$	$=$	$C$

Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Integration

$c$ bestimmen

Stammfunktion aufstellen

Integration

c bestimmen

Stammfunktion aufstellen

Integration

$c$ bestimmen

Stammfunktion aufstellen

Lösungsvariante 1

Lösungsvariante 2

Bilden der Stammfunktion

Lösungsvariante 1:

Lösungsvariante 2:

Bilden der Stammfunktion

$f (x)$	$=$	$x^{2}$
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 x^{2} d x$	$=$	$2 \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x d x$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$- 2 x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} - 2 x d x$	$=$
	↓	$ 1$ . Linearitätseigenschaft
	$=$	$- 2 \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
	$=$	$- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
	↓	Fasse zusammen.
$F (x)$	$=$	$- x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$	$=$	$\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{6} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$	$=$	$- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$- \frac{1}{8} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	↓
$\int_{}^{} x^{3} d x$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 4 x^{3} d x$	$=$	$4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
	$=$	$4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 d x$	$=$	$2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$2 x + C$
$F (x)$	$=$	$2 x + C$	$(C \in ℝ)$

2. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x + 1 d x$	$=$	$\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$\frac{7}{x^{- 2}}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz für negative Exponeneten an.
	$=$	$7 \cdot x^{- (- 2)}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$7 x^{2}$

$k (x)$	$=$	$\frac{3}{x^{4}} \cdot \frac{2}{x^{- 2}}$
	↓	Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.
	$=$	$\frac{3 \cdot 2}{x^{4} \cdot x^{- 2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis im Nenner an.
	$=$	$\frac{6}{x^{4 - 2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\frac{6}{x^{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$6 x^{- 2}$

2.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$	$=$	$\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x^{n}; n \in ℕ$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$	$(C \in ℝ)$

$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 7 \cdot x^{3} + C$
	$=$	$\frac{7}{3} x^{3} + C$
	↓	mit $C \in ℝ$

$g (x)$	$=$	$\frac{6}{x^{- 3}} + \frac{2}{x^{- 1}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	$6 \cdot x^{- (- 3)} + 2 \cdot x^{- (- 1)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten.
	$=$	$6 \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{1}$
	$=$	$6 x^{3} + 2 x$

$G (x)$	$=$	$6 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2} + C$
	↓	mit $C \in ℝ$
	$=$	$\frac{3}{2} x^{4} + x^{2} + C$

$h (x)$	$=$	$\frac{4}{x^{- 2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Benutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten um $\frac{4}{x^{- 2}}$ umzuformen.
	$=$	$4 x^{- (- 2)} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$4 x^{2} \cdot \frac{3}{x^{2}}$
	↓	Schreibe $4 x^{2}$ in den Zähler.
	$=$	$\frac{4 \cdot x^{2} \cdot 3}{x^{2}}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{12 \cdot x^{2}}{x^{2}}$
	↓	Kürze den Faktor $x^{2}$ .
	$=$	$12$