Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Finde eine Stammfunktion für die $e$ -Funktion mithilfe des Formansatzes.

$f (x) = (4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Damit $F (x)$ eine Stammfunktion von $f (x)$ ist, muss gelten $F^{'} (x) = f (x)$ .
Bilde die Ableitung von $F (x) = (a x + b) \cdot e^{2 x}$ , beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.
$F^{'} (x) = a \cdot e^{2 x} + (a x + b) \cdot e^{2 x} \cdot 2 = (2 a x + 2 b + a) \cdot e^{2 x}$
Der Koeffizientenvergleich von $f (x)$ und $F^{'} (x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:
$I 4 = 2 a \Rightarrow a = 2$
$II - 2 = 2 b + a$
Setze $a = 2$ in Gleichung $II$ ein $\Rightarrow - 2 = 2 b + 2 \Rightarrow b = - 2$
Mit $a = 2$ und $b = - 2$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:
$F (x) = (2 x - 2) \cdot e^{2 x} + C$
Der Term vor der $e$ -Funktion ist linear. Verwende deshalb einen Ansatz mit einer allgemeinen linearen Funktion $a x + b$ . Der Formansatz für die Stammfunktion lautet dann $F (x) = (a x + b) \cdot e^{2 x}$ . Bilde die Ableitung von $F (x)$ und führe einen Koeffizientenvergleich mit $f (x)$ durch.
$f (x) = (2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Damit $F (x)$ eine Stammfunktion von $f (x)$ ist, muss gelten $F^{'} (x) = f (x)$ .
Bilde die Ableitung von $F (x) = (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x}$ , beachte dabei die Produkt- und Kettenregel.
$F^{'} (x) = (2 a x + b) \cdot e^{2 x} + (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$
$F^{'} (x) = (2 a x + b + (- 2) \cdot (a x^{2} + b x + c)) \cdot e^{- 2 x}$
$F^{'} (x) = (- 2 a x^{2} - 2 b x - 2 c + 2 a x + b) \cdot e^{- 2 x}$
$F^{'} (x) = (- 2 a x^{2} + (2 a - 2 b) x + b - 2 c) \cdot e^{- 2 x}$
Beachte bei der Funktion $f (x)$ den Einschub des Terms $0 \cdot x$ .
Der Koeffizientenvergleich von $f (x)$ und $F^{'} (x)$ liefert folgendes Gleichungssystem:
$I 2 = - 2 a \Rightarrow a = - 1$
$II 0 = 2 a - 2 b \Rightarrow a = b$
$III - 1 = b - 2 c$
Setze $a = - 1$ in $II$ ein $\Rightarrow b = - 1$
Setze $b = - 1$ in $III$ ein $\Rightarrow - 1 = - 1 - 2 c \Rightarrow c = 0$
Mit $a = - 1$ , $b = - 1$ und $c = 0$ ergibt sich die allgemeine Stammfunktion zu:
$F (x) = (- x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x} + C$
Der Term vor der $e$ -Funktion ist quadratisch. Verwende deshalb einen Ansatz mit einer allgemeinen quadratischen Funktion $a x^{2} + b x + c$ . Der Formansatz für die Stammfunktion lautet dann $F (x) = (a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- 2 x}$ . Bilde die Ableitung von $F (x)$ und führe einen Koeffizientenvergleich mit $f (x)$ durch.

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