Stellen lokal stärkster Zu-&Abnahme

1
Der Graph $G_{f}$ hat bei $x = 5$ eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Welche Aussagen lassen sich über $G_{f^{'}}$ und $G_{f^{''}}$ an dieser Stelle definitiv treffen?
$G_{f^{'}}$ hat dort eine Nullstelle
$G_{f^{'}}$ hat dort einen Hochpunkt
$G_{f^{'}}$ hat dort einen Tiefpunkt
$G_{f^{'}}$ verläuft dort oberhalb der x-Achse
$G_{f^{'}}$ verläuft dort unterhalb der x-Achse
$G_{f^{''}}$ hat dort eine Nullstelle
$G_{f^{''}}$ hat dort eine Extremstelle

Die Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme sind die Stellen, an denen die lokale Änderungsrate maximal oder minimal ist. Der Graph ist in der nahen Umgebung nirgendwo steiler (entweder steiler steigend oder steiler fallend).
Da die lokale Änderungsrate an einer Stelle $x_{0}$ dem Wert der Ableitung an dieser Stelle entspricht ( $f^{'} (x_{0})$ ), sind die Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme genau die Extremstellen der Ableitung. Diese sind zugleich Nullstellen der zweiten Ableitung.
Der Graph steigt, wenn die lokale Änderungsrate, also der Wert der Ableitung an einer Stelle, positiv ist. Nur wenn der Graph steigt, kann überhaupt eine Stelle stärkster Zunahme vorliegen, denn sonst liegt ja gar keine Zunahme vor, sondern eine Abnahme. Deshalb muss $G_{f^{'}}$ bei lokal stärkster Zunahme oberhalb der x-Achse verlaufen.
Zusammenfassend suchst du den Punkt von $G_{f^{'}}$ , der oberhalb der x-Achse ist und in seiner direkten Umgebung am höchsten ist. Du suchst den lokalen Hochpunkt.
Kurzgesagt:
Stelle lokal stärkster Zunahme: Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ , der oberhalb von der x-Achse liegt.
Stellen stärkster Zunahme sind Hochpunkte von $G_{f^{'}}$ , die oberhalb der x-Achse liegen müssen.
2
Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Hat der Graph $G_{f^{'}}$ einer Ableitungsfunktion von f einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse, so hat der Graph $G_{f}$ dort eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Wahr
Falsch

Hat der Graph von $G_{f^{'}}$ einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt, so hat der Graph $G_{f}$ einer Funktion f sowohl eine Stelle lokal stärkster Zunahme als auch lokal stärkster Abnahme
Wahr
Falsch

Die Aussage ist falsch.
Damit es eine Stelle lokal stärkster Abnahme gibt, muss der Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ unterhalb der x-Achse liegen.
Damit es eine Stelle lokal stärkster Zunahme gibt, muss der Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ oberhalb der x-Achse liegen.
Gegenbeispiel:
$G_{f^{'}}$ hat einen Hochpunkt oberhalb der x-Achse und einen Tiefpunkt, der nicht unterhalb der x-Achse liegt.
Ein möglicher Graph von f hat an beiden Extremstellen von f' einen Wendepunkt. Allerdings ist beim Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ der Wendepunkt von $G_{f}$ die Stelle lokal stärkster Zunahme, da der Graph dort offensichtlich am steilsten in der Umgebung ist und beim Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ ist der Wendepunkt von $G_{f}$ eine Stelle lokal schwächster Zunahme, denn dort flacht der Graph von f ab, bevor er danach wieder steiler wird.

Wechselt der Graph einer Funktion f am Wendepunkt $W (x_{w}, y_{w})$ von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt und es gilt $f^{'} (x_{W}) > 0$ , so hat der Graph dort eine Stelle lokal stärkster Zunahme.
Wahr
Falsch

Fällt der Graph von f an einem Wendepunkt, der zugleich kein Terrassenpunkt ist, so handelt es sich um eine Stelle stärkster Abnahme.
Wahr
Falsch

An einem Terrassenpunkt liegt immer eine Stelle lokal schwächster Zu- oder Abnahme vor.
Wahr
Falsch
3
Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Hat der Graph $G_{f^{'}}$ einer Ableitungsfunktion von f einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse, so hat der Graph $G_{f}$ dort eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Wahr
Falsch

Hat der Graph von $G_{f^{'}}$ einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt, so hat der Graph $G_{f}$ einer Funktion f sowohl eine Stelle lokal stärkster Zunahme als auch lokal stärkster Abnahme
Wahr
Falsch

Die Aussage ist falsch.
Damit es eine Stelle lokal stärkster Abnahme gibt, muss der Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ unterhalb der x-Achse liegen.
Damit es eine Stelle lokal stärkster Zunahme gibt, muss der Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ oberhalb der x-Achse liegen.
Gegenbeispiel:
$G_{f^{'}}$ hat einen Hochpunkt oberhalb der x-Achse und einen Tiefpunkt, der nicht unterhalb der x-Achse liegt.
Ein möglicher Graph von f hat an beiden Extremstellen von f' einen Wendepunkt. Allerdings ist beim Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ der Wendepunkt von $G_{f}$ die Stelle lokal stärkster Zunahme, da der Graph dort offensichtlich am steilsten in der Umgebung ist und beim Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ ist der Wendepunkt von $G_{f}$ eine Stelle lokal schwächster Zunahme, denn dort flacht der Graph von f ab, bevor er danach wieder steiler wird.

Wechselt der Graph einer Funktion f am Wendepunkt $W (x_{w}, y_{w})$ von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt und es gilt $f^{'} (x_{W}) > 0$ , so hat der Graph dort eine Stelle lokal stärkster Zunahme.
Wahr
Falsch

Fällt der Graph von f an einem Wendepunkt, der zugleich kein Terrassenpunkt ist, so handelt es sich um eine Stelle stärkster Abnahme.
Wahr
Falsch

An einem Terrassenpunkt liegt immer eine Stelle lokal schwächster Zu- oder Abnahme vor.
Wahr
Falsch
4
Gegeben ist eine Funktion g mit $D = ℝ$ .
Beschreibe, wie du vorgehen musst, um die Stellen lokal stärkster Zu- bzw Abnahme zu bestimmen.

Kandidaten für Extremstellen der Ableitung suchen
Da an den Stellen lokal stärkster Zu-/Abnahme die lokale Änderungsrate extremal sein muss, werden die Extremstellen der Ableitung gesucht.
Dazu muss die Funktion g zweimal abgeleitet werden und die Nullstellen der zweiten Ableitung gefunden werden:
$f^{''} (x) = 0$
(Nebeneffekt: Die Stellen lokal stärkster Zu-/Abnahme sind immer Wendestellen der Funktion, aber nicht jede Wendestelle ist eine Stelle lokal stärkster Zu-/Abnahme)
Ergebnis: Es sind alle Kandidaten für Extremstellen von $G_{f^{'}}$ bekannt.
Art der Extremstellen ermitteln
Insgesamt muss überprüft werden, ob die gefundenen Extrempunkte Hochpunkte oder Tiefpunkte sind, denn nur wenn ein Hochpunkt oberhalb der x-Achse oder ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse liegt, handelt es sich jeweils um eine Stelle lokal stärkster Zunahme oder lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zu- oder Abnahme).
Die Art der Extremstelle kann z.B. ermittelt werden über:
Monotonietabelle für $G_{f^{'}}$
Einsetzen der Extremstellen-Kandidaten in $G_{f^{'''}}$ und Untersuchung des Vorzeichens
Beachte dabei, dass nicht wie gewohnt $G_{f}$ untersucht wird, sondern eben $G_{f^{'}}$
Ergebnis: Du weißt, welche Extrempunkte Hochpunkte, Tiefpunkte oder Terrassenpunkte sind.
Wert der lokalen Änderungsrate bei Extremstellen ermitteln
Damit man bei einem Hochpunkt von einer stärksten Zunahme sprechen kann, muss überhaupt eine Zunahme vorliegen. Das bedeutet, dass die lokale Änderungsrate bzw Steigung positiv sein muss (analog bei Abnahme).
Deshalb wird die lokale Änderungsrate der gefundenen Stellen $x_{1}, x_{2}, . . .$ berechnet:
$f^{'} (x_{n}) = ?$
Zusammensetzen der Ergebnisse
Kombiniere nun die Ergebnisse aus dem 2. und 3. Schritt:
Hat der Graph der Ableitung einen Hochpunkt, der oberhalb der x-Achse liegt, so liegt eine Stelle lokal stärkster Zunahme vor
Hat der Graph der Ableitung einen Tiefpunkt, der unterhalb der x-Achse liegt, so liegt eine Stelle lokal stärkster Abnahme vor
Die Stellen lokal stärkster Zunahme sind die Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ , die oberhalb der x-Achse liegen und die Tiefpunkte von $G_{f^{'}}$ , die unterhalb der x-Achse liegen.
Es müssen also drei Dinge überprüft werden:
Wo ist die Extremstelle von $G_{f^{'}}$ ?
Was ist die Art der Extremstelle?
Liegt sie oberhalb oder unterhalb von der x-Achse?
5
Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen $G_{f}$ , der Definitionsmenge $D = ℝ$ und dem Funktionsterm $f (x) = 0,2 x^{6} - 1,75 x^{4} - 6 x^{2}$
Zeige, dass der Term der zweiten Ableitung $f^{''} (x) = 6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$ ist.

$f (x) = 0,2 x^{6} - 1,75 x^{4} - 6 x^{2}$
$f^{'} (x) = 1,2 x^{5} - 7 x^{3} - 12 x$
$f^{''} (x) = 6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$
Leite mithilfe der Ableitungsregeln für Potenzfunktionen, für Faktoren und für Summen/Differenzen ab:

Treffe eine Aussage über die Symmetrie von $G_{f}$ , $G_{f^{'}}$ und $G_{f^{''}}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Symmetrie von $G_{f}$
$f (x) = 0,2 x^{6} - 1,75 x^{4} - 6 x^{2}$
Da alle Potenzen gerade sind, ist $G_{f}$ symmetrisch zur y-Achse.
Symmetrie von $G_{f^{'}}$
$f^{'} (x) = 1,2 x^{5} - 7 x^{3} - 12 x$
Da alle Potenzen ungerade sind, ist $G_{f^{'}}$ symmetrisch zum Ursprung.
Symmetrie von $G_{f^{''}}$
$f^{''} (x) = 6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$
Da alle Potenzen gerade sind, ist $G_{f^{''}}$ symmetrisch zur y-Achse.
Für eine ganzrationale Polynomfunktion gilt:
Sind alle Potenzen von x gerade, so ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch. Sind alle Potenzen von x ungerade, so ist der zugehörige Graph punktsymmetrisch.

Ermittle alle Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme von $G_{f}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitution
Nullstellen der 2. Ableitung
Die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung bekommst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmst.
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$ $=$ $0$
Da es sich um eine biquadratische Gleichung handelt, kann mit $u = x^{2}$ substituiert werden:
$6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$ $=$ $0$
$6 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} - 12$ $=$ $0$
↓
Substituiere: $u = x^{2}$
$6 u^{2} - 21 u - 12$ $=$ $0$
Mithilfe der Mitternachtsformel kannst du die neue Gleichung lösen:
$u_{1,2} = \frac{- (- 21) \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 6}$
Es ergeben sich die Lösungen $u_{1} = 4$ und $u_{2} = - 0,5$
Vergiss nicht die Rücksubstitution. Für $u_{1} = 4$ ergibt sich:
$u_{1}$ $=$ $4$
↓
Ersetze $u = x^{2}$
$x^{2}$ $=$ $4$
↓
Radiziere. Es gibt zwei Lösungen!
$x_{1}$ $=$ $2$
$x_{2}$ $=$ $- 2$
Das gleiche nochmal für $u_{2} = - 0,5$
$u_{2}$ $=$ $- 0,5$
↓
Ersetze $u = x^{2}$
$x^{2}$ $=$ $- 0,5$
↓
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden.
Keine weitere Lösung.
Art der Extremstelle
Mithilfe einer Monotonietabelle für $G_{f^{'}}$ oder mithilfe der 3. Ableitung kann die Art der Extremstelle bestimmt werden. Hier ist die Lösung mithilfe der 3. Ableitung dargestellt:
$f^{'''} (x) = 24 x^{3} - 42 x$
Setze $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ jeweils in $f^{'''}$ ein:
$f^{'''} (2) = 108 > 0$ , also Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ bei $x = 2$
$f^{'''} (- 2) = - 108 < 0$ , also Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ bei $x = - 2$
(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei $x = 2_{}$ gespiegelt auch für $x = - 2$ gelten muss.)
Lage des Extrempunkts bzgl. der x-Achse
Damit es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme handelt, müsste der Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ bei $x = 2$ unterhalb der x-Achse liegen. Setze den Wert in f' ein, um den Wert zu erhalten und zu entscheiden, ob für $G_{f}$ hier generell eine Zunahme oder Abnahme vorliegt.
$f^{'} (2) = - 41,6 < 0$ , also $G_{f^{'}}$ hier unterhalb der x-Achse und somit eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Analog gilt für die Stelle stärkster Zunahme, dass der Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ bei $x = - 2$ oberhalb von der x-Achse liegen muss.
$f^{'} (- 2) = 41,6 > 0$ , also $G_{f^{'}}$ hier oberhalb von der x-Achse und somit Stelle lokal stärkster Zunahme.
(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei $x = 2_{}$ gespiegelt auch für $x = - 2$ gelten muss.)
Die Stellen lokal stärkster Zunahme sind die Hochpunkte von $G_{f^{'}}$ , die oberhalb der x-Achse liegen und die Stellen lokal stärkster Abnahme sind die Tiefpunkte, die unterhalb der x-Achse liegen.

Begründe ohne weitere Rechnung, warum bei $x = 0$ ein Tiefpunkt vorliegt und treffe eine Aussage über Art und ungefähre Lage weiterer Extrempunkte.

Extrempunkt bei x=0
Durch Faktorisieren erhält man den Term:
$f (x) = x^{2} (0,2 x^{4} - 1,75 x^{2} - 6)$
Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn eines seiner Faktoren 0 ist, hat die Funktion eine doppelte Nullstelle (Nullstelle mit Vielfachheit 2) bei x=0.
Eine doppelte Nullstelle berührt die x-Achse lediglich und ist deshalb automatisch auch eine Extremstelle.
Es steht noch aus, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt.
Weitere Extremstellen.
Da $G_{f}$ zwei Wendepunkte hat, die keine Terrassenpunkte sind ( $x = - 2$ und $x = 2$ ), muss der Graph 3 Extremstellen haben, da der Wendepunkt jeweils zwischen zwei Extremstellen liegen muss.
Es kann keine weiteren Extremstellen geben, da es keine weiteren Wendepunkte gibt und sich entweder vor oder nach einer Extremstelle (oder beide Male) die Krümmung ändern muss.
Es muss also ein weiterer Extempunkt in $] - \infty; - 2 [$ und einer in $] 2; \infty [$ liegen. Aufgrund der Achsensymmetrie von $G_{f}$ sind beide Extrempunkte von der derselben Art.
Art aller drei Extremstellen
Da der Term vom Grad 4 ist und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt
$\lim_{x \mapsto \pm \infty} f (x) = + \infty$ , was bedeutet, dass der Graph von f zu Beginn fällt. Der erste Extrempunkt im Intervall $] - \infty; - 2 [$ ist also ein Tiefpunkt.
Aufgrund der Symmetrie muss auch im Intervall $] 2; \infty [$ ein Tiefpunkt sein.
Somit ist im Ursprung ein Hochpunkt.
(Hinweis: Die x-Koordinaten der anderen Extrempunkte können durch Faktorisieren der 1. Ableitung und durch Substitution berechnet werden. Sie liegen ungefähr bei $x_{E 1} \approx - 2,69$ und $x_{E 2} \approx 2,69$ )
6
Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen $G_{f}$ , der Definitionsmenge $D = ℝ$ und dem Funktionsterm $f (x) = 2 x^{3} + 1,5 x^{2} - 2 x + 3$ .
Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die lokale Änderungsrate den Wert 1 hat.

Ableiten
Die erste Ableitung lautet $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 3 x - 2$
Gleichung lösen
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
$f^{'} (x)$ $=$ $1$
$6 x^{2} + 3 x - 2$ $=$ $1$ $- 1$
$6 x^{2} + 3 x - 3$ $=$ $0$
Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:
$x_{1,2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 6}$ und somit $x_{1} =$ 0,5 und $x_{2} = - 1$ .
Koordinaten
Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:
$f (0,5) = 2,625 \Rightarrow P_{1} (0,5 | 2,625)$
$f (- 1) = 4,5$ $\Rightarrow P_{2} (- 1 | 4,5)$
Die lokale Änderungsrate wird mithilfe der 1. Ableitung berechnet. Es sind also die Lösungen der Gleichung $f^{'} (x) = 1$ gesucht

Untersuche, ob es eine Stelle lokal stärkster Zu- oder Abnahme gibt.

Ableiten
Die zweite Ableitung lautet $f^{''} (x) = 12 x + 3$
Nullstellen der 2. Ableitung
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$12 x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$12 x$ $=$ $- 3$ $: 12$
$x$ $=$ $- \frac{1}{4}$
Art der Extremstelle über 3. Ableitung
Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von $G_{f^{'}}$ bestimmen.
$f^{'''} (x) = 12$
Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:
$f^{'''} (- \frac{1}{4}) = 12 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$
Lage des Tiefpunkts
Setze $x = - \frac{1}{4}$ nun noch in $f^{'}$ ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).
$f^{'} (- \frac{1}{4}) = - 2,375 < 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt unterhalb der x Achse $\Rightarrow$ Stelle lokal stärkster Abnahme.
Ein Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ , der oberhalb der x-Achse liegt, ist eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse ist eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Die Kandidaten für Extrempunkte der 1. Ableitung sind die Nullstellen der 2. Ableitung.
7
Untersuche den Graphen der Funktion f mit $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$ , $D_{f} = ℝ$ auf Stellen (lokal) stärkster Zu- oder Abnahme der Funktionswerte

Ableitung bestimmen
Bilde die 1. Ableitung der Funktion $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$ :
$f^{'} (x) = x^{2} + 6 x - 5$
Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung suchen
Du suchst die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung (Achtung! Nicht von f selbst!).
Das sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0.
Die 2. Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten der 1. Ableitung:
$f^{''} (x) = 2 x + 6$
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$2 x + 6$ $=$ $0$ $- 6$
$2 x$ $=$ $- 6$
$x$ $=$ $- 3$
Die Vielfachheit der Nullstelle $x = 3$ ist 1, deshalb handelt es sich um eine Extremstelle von $f^{'}$ (und nebenbei um eine Wendestelle von $f$ )
Art der Extremstelle
Die Art der Extremstelle kannst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle bestimmen (alternativ über eine Skizze von $G_{f^{''}}$ oder die 3. Ableitung).
x<-3
x=-3
-3<x
Vorzeichen $f^{''}$
-
0
+
Verlauf $G_{f^{'}}$
$↘$
TIP
$↗$
Der Graph der 1. Ableitung $G_{f^{'}}$ hat nur eine Extremstelle. Einen Tiefpunkt bei $x = - 3$
Lage des Extrempunkts
Du weißt nun, dass bei $x = - 3$ ein Tiefpunkt liegt. Allerdings liegt hier nur eine Stelle lokal stärkster Abnahme vor, wenn der Graph $G_{f}$ tatsächlich zu diesem Zeitpunkt auch fällt. Das bedeutet, dass der Tiefpunkt von $G_{f^{'}}$ unter der x-Achse liegen muss, also $f^{'} (- 3) < 0$
$f^{'} (- 3) = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) - 5 = - 14 < 0 \Rightarrow$ Der Graph $G_{f}$ fällt für $x = - 3$ auch tatsächlich.
Folgerung lokal stärkste Abnahme
Da es sich beim Tiefpunkt $T I P (- 3 | - 14)$ von $G_{f^{'}}$ um einen Tiefpunkt unter der x-Achse handelt, hat der Graph $G_{f}$ dort zumindest eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Global stärkste Zu- oder Abnahme
Der Graph der Ableitung hat nur einen Extrempunkt, den gerade erwähnten Tiefpunkt. Der Graph der Ableitung ist also eine nach oben geöffnete Parabel.
Damit ist der Tiefpunkt der globale (absolute) Tiefpunkt der Ableitung und somit hat $G_{f}$ bei x=-3 eine Stelle global stärkster Abnahme.
Es gibt keinen (lokalen oder globalen) Hochpunkt bei $G_{f^{'}}$ und deshalb auch keine Stelle global stärkster Zunahme bei $G_{f}$ .
Da es sich um die stärkste Zu- oder Abnahme handelt, untersuchst du die Ableitung (die die Zu- und Abnahme beschreibt). Genauer suchst du...
...die Hochpunkte des Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitung, die über der x-Achse sind (lokal stärkste Zunahme)
...die Tiefpunkte des Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitung, die unter der x-Achse sind (lokal stärkste Abnahme)
Handelt es sich dabei um globale (absolute) Hoch- oder Tiefpunkte, so ist es eine Stelle global stärkster Zu- oder Abnahme.
Du musst also die 1. Ableitung auf Art und Lage der Extremstellen untersuchen.
8
(In Anlehnung an das Fachabitur T12 2022 in Bayern)
Das Brennen von Keramik erfolgt oft bei Temperaturen über 800°C. Die Temperatur im Ofen im Laufe des Brennvorgangs wird durch die sogenannte "Brennkurve" beschrieben. Die folgende Funktionsgleichung beschreibt in guter Näherung eine solche "Brennkurve" für einen Brennvorgang, der insgesamt 23 Stunden dauert:
$ϑ (t) = 0,04 (t^{4} - 47 t^{3} + 528 t^{2} + 576 t + 500)$ mit $D_{ϑ} = [0; 23]$
Die verstrichene Brenndauer t wird dabei in Stunden ab Beginn des Brennvorgangs zum Zeitpunkt $t = 0$ angegeben, die Temperatur im Ofen $ϑ (t)$ in Grad Celsius (°C).
Auf das Mitführen von Einheiten während der Berechnung kann verzichtet werden. Endergebnisse sind samt Einheit zu notieren. Zeitpunkte sind in Stunden auf zwei Nachkommastellen und Temperaturwerte in Grad Celsius ganzzahlig zu runden.
Bestimmen Sie den Zeitraum der Aufheizphase, in der die Temperatur im Brennofen ansteigt

1. Ableitung bestimmen
Bilde die erste Ableitung, mit der du das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen beschreiben kannst:
$ϑ (t) = 0,04 (t^{4} - 47 t^{3} + 528 t^{2} + 576 t + 500)$
Ableiten:
$ϑ^{'} (t) = 0,04 (4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576)$
Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
Die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten ändern kann, sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0. Deshalb suchst du die Nullstellen der Ableitung:
$ϑ^{'} (t)$ $=$ $0$
$0,04 (4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576)$ $=$ $0$
↓
Satz vom Nullprodukt
$4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576$ $=$ $0$
Da der Grad der Funktion 3 ist und man nicht ausklammern kann, brauchst du die Polynomdivision.
Die erste Nullstelle musst du durch Probieren ermitteln. Eine Nullstelle findet man hier bei $x = 24$ . Diese Nullstelle liegt zwar selbst nicht im Definitionsbereich $D = [0; 23]$ , aber kann zur Polynomdivision trotzdem verwendet werden:
$\begin{array}{lllll} (4 t^{3} & - 141 t^{2} & + 1056 t & + 576) & : (t - 24) = 4 t^{2} - 45 t - 24 \\ - & (4 t^{3} & - 96 t^{2}) \\ - 45 t^{2} & + 1056 t \\ - & (- 45 t^{2} & + 1080 t) \\ - 24 t & + 576 \\ - & (- 24 t & + 576) \\ 0 \end{array}$
Nun kannst du die Mitternachtsformel verwenden:
$t_{2 / 3} = \frac{- (- 45) \pm \sqrt{(- 45^{2}) - 4 \cdot 4 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 4}$ liefert $t_{2} \approx - 0,51$ und $t_{3} \approx 11,76$
Nur die Nullstelle $t = 11,76$ ist im Definitionsbereich und muss weiter betrachtet werden.
Monotonietabelle
Unter Verwendung von $D = [0; 23]$ ergibt sich die Monotonietabelle
0<x<11,76
x=11,76
11,76<x<23
Vorzeichen $ϑ^{'}$
+
0
-
Verlauf $G_{ϑ}$
$↗$ sms
HOP
$↘ s m f$
Die Aufheizphase dauert vom Messbeginn an ca 12 Stunden (genauer 11,76 Stunden).
Da der Graph die Temperatur in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit beschreibt, suchst du hier das Intervall, in dem der Graph steigt, die Temperatur also zunimmt. (Falls es mehrere geben sollte, suchst du das erste innerhalb der Definitionsmenge)
Du untersuchst also die Monotonie:
1. Ableitung bilden
Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
Monotonietabelle zeichnen

Damit das Brenngut keinen Schaden nimmt, darf während der Aufheizphase die momentane Änderungsrate der Temperatur höchstens 115°C pro Stunde betragen. Untersuchen Sie, ob diese Bedingung erfüllt wird.

Die Extremstellen der 1. Ableitung erhältst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung findest und untersuchst.
2. Ableitung bilden
Mit $ϑ^{'} (t) = 0,04 (4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576)$ ergibt sich für die 2. Ableitung:
$ϑ^{''} (t) = 0,04 (12 t^{2} - 282 t + 1056)$
Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen
$ϑ^{''} (t)$ $=$ $0$
$0,04 (12 t^{2} - 282 t + 1056)$ $=$ $0$
↓
Satz vom Nullprodukt
$12 t^{2} - 282 t + 1056$ $=$ $0$
Löse mit der Mitternachtsformel:
$t_{1 / 2} = \frac{- (- 282) \pm \sqrt{(- 282)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 1056}}{2 \cdot 12}$ liefert $t_{1} \approx 4,67$ und $t_{2} \approx 18,83$ (beide in D)
Beide Nullstellen von $ϑ^{''}$ haben die Vielfachheit 1, deshalb liegen an beiden Stellen Extremstellen von $ϑ^{'}$ .
Lage der Extremstellen von $G_{f^{'}}$
Setze die gefundenen $t_{1}$ und $t_{2}$ in $ϑ^{'}$ ein, um die Temperaturzu- bzw. abnahme zu bestimmen und mit dem Wert 115°C pro Stunde zu vergleichen.
$ϑ^{'} (4,67) \approx 113,59$
$ϑ^{'} (18,83) \approx - 113,10$
Fazit
Da die höchste Änderungsrate 114°C pro Stunde beträgt, wird die Anforderung eingehalten.
Die momentane Änderungsrate wird durch die 1. Ableitung $ϑ^{'}$ dargestellt. Du möchtest also herausfinden, ob der Wert der Ableitung während der Aufheizphase die 115°C nicht übersteigt: $ϑ^{'} (t) < 115 ° C$
Da die entstandene Ungleichung aber aufgrund des Grades 3 unschön bis nicht lösbar wäre, kannst du auch überprüfen, ob die Stelle stärkster (Temperatur-) Zunahme die Bedingung erfüllt.
Du suchst also die Maximalwerte (=Hochpunkte) der Ableitung.
Beachte, dass diese aufgrund des eingeschränkten Definitionsbereichs auch am Rand liegen können!

Bei Temperaturen im Ofen von 1400°C und mehr müssen besonders hitzebeständige Tragegestelle für die Keramikteile verwendet werden. Entscheiden Sie mithilfe einer Rechnung, ob ein besonders hitzebeständiges Tragegestell verwendet werden muss.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Art und Lage von Extrempunkten
Bei $t = 11,76$ hat der Graph $G_{ϑ}$ seinen Hochpunkt und somit der Ofen seine maximale Temperatur.
Diese beträgt $ϑ (11,76) \approx 919 ° C$ und ist somit unter der Temperatur von 1400°C.
Es wird also kein spezielles Tragegeschirr benötigt.
Hier geht es wieder um die tatsächliche Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt und nicht um die Temperaturzunahme.
Mithilfe der Ergebnisse aus der ersten Teilaufgabe kann man schnell überprüfen, ob die Maximaltemperatur 14000°C übersteigt, indem man die Lage des Extrempunktes bestimmt.

Zeichnen Sie den Graphen von $ϑ$ für $0 \leq t \leq 23$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: t-Achse: 2 Stunden $\hat{=}$ 1 cm und $ϑ$ (t)-Achse: 100°C $\hat{=}$ 1 cm.

Achte auf den Definitionsbereich und halte die Grenzen ein.
Außerdem ist eine besondere Achsenskalierung vorhanden.
Den Hochpunkt solltest du aus deinen bereits bestimmten Ergebnissen ebenfalls einzeichnen.
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Eine Sonnenblume wird gepflanzt und monatlich ihre Höhe in Metern gemessen. Dabei wird als erste Messung (Zeitpunkt 0. Monat) die Höhe der Sonnenblume vier Wochen nach dem Einpflanzen betrachtet, damit das Pflänzchen bereits gut sichtbar ist. Die Funktion $h (m) = \frac{1}{50} (5 m^{3} - 45 m^{2} + 135 m + 16)$ kann im Zeitraum $D = [0; 3]$ zur Beschreibung der Situation herangezogen werden.
Gib die Bedeutung von $h (m)$ und $m$ im Sachkontext an

Die Größe m beschreibt die Zeit in Monaten ab der 1. Messung - gemein, da m zugleich die Einheit von $h (m)$ ist, der Höhe der Sonnenblume in Metern.
Später in der Aufgabe häufig noch wichtig: Der Zeitpunkt $m = 0$ ist nicht der Zeitpunkt des Einpflanzens. Es wurde erst gemessen, als die Pflanze gut sichtbar war: 4 Wochen nach dem Einpflanzen.
Lies den Text aufmerksam durch.
Was ist die unabhängige Größe, die auf der x-Achse zu finden ist?
Was ist die abhängige Größe, also was wird in Abhängigkeit von etwas anderem angegeben?

Bestimme h(0) und erkläre die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte
$h (0) = \frac{1}{50} (5 \cdot 0^{3} - 45 \cdot 0^{2} + 135 \cdot 0 + 16) = 0,32$
Hierbei handelt es sich um die Höhe der Sonnenblume bei der Startmessung (vier Wochen nach dem Einpflanzen). Die Blume ist also 32 cm hoch.
Berechne den Funktionswert bei $m = 0$
Die erste Teilaufgabe hilft dir dabei, herauszufinden, für was $m$ und für was $h (m)$ steht.

Bestimme die Höhe der Sonnenblume 10 Wochen nach Aussaat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ziehe zunächst die 4 Wochen bis zur ersten Messung ab: $10 - 4 = 6$
Vom Zeitpunkt $m = 0$ sind es also noch 6 Wochen oder 1,5 Monate (1 Monat $\approx$ 4 Wochen).
$h (1,5) \approx 2,68$
Zehn Wochen nach der Aussaat ist die Sonnenblume ungefähr 2,68 m hoch.
(Ja, Sonnenblumen werden tatsächlich bis zu 3 m groß, brauchen dafür eigentlich aber ungefähr doppelt so lang...)
Vergiss nicht, dass Aussaat und Messstart zwei unterschiedliche Dinge sind.
Wenn du die Wochen in Monate umgerechnet hast, kannst du erneut den Funktionswert bestimmen.

Zeichne den Graphen von h in ein geeignetes Koordinatensystem. Beschrifte die Achsen sprechend.

Bestimme das durchschnittliche Wachstum der Sonnenblume im ersten Monat der Messungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Setze in die Formel des Differenzenquotienten ein, um eine durchschnittliche Steigung zu bestimmen:
$m = \frac{h (1) - h (0)}{1 - 0} = \frac{2,22 - 0,32}{1} = 1,9$
Im ersten Monat wächst sie durchschnittlich mit einer Geschwindigkeit von $1,9$ Meter pro Monat.
Bestimme die durchschnittliche Steigung mit der mittleren Änderungsrate (dem Differenzenquotient)

Erkläre die Bedeutung der Ableitung $h^{'} (m)$ im Sachkontext.

In dieser Aufgabe ist die Ableitung die Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume in Meter pro Monat ( $\frac{Meter}{Monat}$ )
Die Einheit der Ableitung ist die Einheit der y-Achse dividiert durch die Einheit der x-Achse.
Die Ableitung gibt immer eine Änderungsrate an.

Zeichne den Graphen von $h^{'}$ in ein neues Koordinatensystem. Verwende erneut sprechende Achsenbeschriftungen.

	x<-3	x=-3	-3<x
Vorzeichen $f^{''}$	-	0	+
Verlauf $G_{f^{'}}$	$↘$	TIP	$↗$

	0<x<11,76	x=11,76	11,76<x<23
Vorzeichen $ϑ^{'}$	+	0	-
Verlauf $G_{ϑ}$	$↗$ sms	HOP	$↘ s m f$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$6 x^{4} - 21 x^{2} - 12$	$=$	$0$
$6 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} - 12$	$=$	$0$
	↓	Substituiere: $u = x^{2}$
$6 u^{2} - 21 u - 12$	$=$	$0$

$u_{1}$	$=$	$4$
	↓	Ersetze $u = x^{2}$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Radiziere. Es gibt zwei Lösungen!
$x_{1}$	$=$	$2$
$x_{2}$	$=$	$- 2$

$u_{2}$	$=$	$- 0,5$
	↓	Ersetze $u = x^{2}$
$x^{2}$	$=$	$- 0,5$
	↓	Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden.

$f^{'} (x)$	$=$	$1$
$6 x^{2} + 3 x - 2$	$=$	$1$	$- 1$
$6 x^{2} + 3 x - 3$	$=$	$0$

$f^{''} (x)$	$=$	$0$
$12 x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$12 x$	$=$	$- 3$	$: 12$
$x$	$=$	$- \frac{1}{4}$

$f^{''} (x)$	$=$	$0$
$2 x + 6$	$=$	$0$	$- 6$
$2 x$	$=$	$- 6$
$x$	$=$	$- 3$

$ϑ^{'} (t)$	$=$	$0$
$0,04 (4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576)$	$=$	$0$
	↓	Satz vom Nullprodukt
$4 t^{3} - 141 t^{2} + 1056 t + 576$	$=$	$0$

$ϑ^{''} (t)$	$=$	$0$
$0,04 (12 t^{2} - 282 t + 1056)$	$=$	$0$
	↓	Satz vom Nullprodukt
$12 t^{2} - 282 t + 1056$	$=$	$0$

Stellen lokal stärkster Zu-&Abnahme

Kandidaten für Extremstellen der Ableitung suchen

Art der Extremstellen ermitteln

Wert der lokalen Änderungsrate bei Extremstellen ermitteln

Zusammensetzen der Ergebnisse

Symmetrie von Gf

Symmetrie von Gf′

Symmetrie von Gf′′

Nullstellen der 2. Ableitung

Art der Extremstelle

Lage des Extrempunkts bzgl. der x-Achse

Extrempunkt bei x=0

Weitere Extremstellen.

Art aller drei Extremstellen

Ableiten

Gleichung lösen

Koordinaten

Ableiten

Nullstellen der 2. Ableitung

Art der Extremstelle über 3. Ableitung

Lage des Tiefpunkts

Ableitung bestimmen

Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung suchen

Art der Extremstelle

Lage des Extrempunkts

Folgerung lokal stärkste Abnahme

Global stärkste Zu- oder Abnahme

1. Ableitung bestimmen

Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen

Monotonietabelle

2. Ableitung bilden

Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen

Lage der Extremstellen von Gf′

Fazit

Symmetrie von $G_{f}$

Symmetrie von $G_{f^{'}}$

Symmetrie von $G_{f^{''}}$

Lage der Extremstellen von $G_{f^{'}}$