Aufgaben zur Produktregel

Hier kannst du die Anwendung der Produktregeln üben. In diesen Aufgaben lernst du, wie du das Produkt zweier Funktionen ableiten kannst.

1
Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:
$f (x) = x^{2} \cdot (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f (x) = x^{2} \cdot (x - 1)$
Wende die Produktregel an.
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 2 x \cdot (x - 1) + x^{2} \cdot 1 \\ = 2 x^{2} - 2 x + x^{2} \\ = 3 x^{2} - 2 x \end{aligned}$

$f (x) = (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f (x)$ $=$ $(x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$
↓
Wende die Produktregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $(2 x + \frac{1}{4}) \cdot (x^{3} + 3) + (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot 3 x^{2}$
$=$ $2 x^{4} + 6 x + \frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} + 3 x^{4} + \frac{3}{4} x^{3}$
$=$ $5 x^{4} + x^{3} + 6 x + \frac{3}{4}$

$f (x) = 4 x^{2} \cdot (- 2 x - 2)$

Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du die Produktregel.
$\begin{aligned} f (x) & = 4 x^{2} \cdot (- 2 x - 2) \\ f^{'} (x) & = 8 x \cdot (- 2 x - 2) + 4 x^{2} \cdot (- 2) \\ = (- 16 x^{2}) - 16 x - 8 x^{2} \\ = (- 24 x^{2}) - 16 x \end{aligned}$
Wende die Produktregel an.
2
Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.
Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.
$f (x) = x^{2} \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f (x)$ $=$ $x^{2} \cdot x$
↓
Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$ $=$ $2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1$
↓
Vereinfachen
$=$ $3 x^{2}$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = (x - 1) (x^{2} + x + 7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f (x)$ $=$ $(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 7)$
↓
Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$ $=$ $1 \cdot (x^{2} + x + 7) + (x - 1) \cdot (2 x + 1)$
↓
Vereinfachen
$=$ $x^{2} + x + 7 + 2 x^{2} + x - 2 x - 1$
$=$ $3 x^{2} + 6$
3
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
$f (x) = x \cdot \cos (x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\begin{aligned} Produktregel: & {(u (x) \cdot v (x))}^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} f (x) & = x \cdot \cos (x) \\ f^{'} (x) & = 1 \cdot \cos (x) + x \cdot (- \sin (x)) \\ = \cos (x) - x \cdot \sin (x) \end{aligned}$

$f (x) = 4 x \cdot (x^{3} + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\begin{aligned} Produktregel: & {(u (x) \cdot v (x))}^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} f (x) & = 4 x \cdot (x^{3} + 2) \\ f^{'} (x) & = 4 \cdot (x^{3} + 2) + 4 x \cdot 3 x^{2} \\ = 4 x^{3} + 8 + 12 x^{3} \\ = 16 x^{3} + 8 \end{aligned}$

$f (x) = (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\begin{aligned} Produktregel: & {(u (x) \cdot v (x))}^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} f (x) & = (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot (x - 1) \\ f^{'} (x) & = (x + 2) \cdot (x - 1) + (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot 1 \\ = x^{2} - x + 2 x - 2 + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x \\ = \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - 2 \end{aligned}$
4
Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = x^{2} \cdot \cos (x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} \cdot \cos (x) \end{array}$
Wende die Produktregel an.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 2 x \cdot \cos (x) + x^{2} \cdot (- \sin (x)) \\ = & 2 x \cdot \cos (x) - x^{2} \cdot \sin (x) \end{array}$

$f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
$\begin{array}{rcl} f & = & \frac{\sin x}{x} \\ = & \sin x \cdot \frac{1}{x} \\ = & \sin x \cdot x^{- 1} \end{array}$
Wende die Produktregel an.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \cos x \cdot x^{- 1} + \sin x \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} \\ = & \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^{2}} \\ = & \frac{1}{x} \cdot (\cos x - \frac{\sin x}{x}) \\ = & \frac{x \cdot \cos x - \sin x}{x^{2}} \end{array}$

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$
Wende die Produktregel an.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (- \sin x) \\ = & \cos^{2} x - \sin^{2} x \end{array}$

Bilde die Ableitung folgender Funktionen mit der Produktregel.

$f (x) = (e^{x} - 2) \cdot (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
$\begin{array}{rcl} f (x) & = (e^{x} - 2) \cdot (x - 1) \\ f^{'} (x) & = e^{x} \cdot (x - 1) + (e^{x} - 2) \cdot 1 \\ = x e^{x} - e^{x} + e^{x} - 2 \\ = x e^{x} - 2 \end{array}$

$f (x) = {(7 x - 1)}^{4} \cdot x^{- 2}$

$f (x) = \ln (x) \cdot (1 - x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
$\begin{array}{rcl} f (x) & = \ln (x) \cdot (1 - x) \\ f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \cdot (1 - x) + \ln (x) \cdot (- 1) \\ = \frac{1}{x} - 1 - \ln (x) \end{array}$
Wende die Produktregel an.
Vereinfachen.

Bestimme die Ableitung:

$f (x) = x^{2} \cdot e^{- x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten
$f (x)$ $=$ $x^{2} \cdot e^{- x}$
↓
Benutze die Produktregel und die Kettenregel.
$=$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$
↓
Vereinfache soweit wie möglich.
$=$ $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$
↓
Klammer $x \cdot e^{- x}$ aus.
$=$ $x \cdot e^{- x} (2 - x)$
$=$

$g (x) = l n (- x^{2} + 1) \cdot x^{2}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$g (x)$	$=$	$\ln (- x^{2} + 1) \cdot x^{2}$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für die ln-Funktion, die Kettenregel und die Produktregel.
	$=$	$\frac{1}{- x^{2} + 1} \cdot - 2 x \cdot x^{2} + \ln (- x^{2} + 1) \cdot 2 x$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\frac{- 2 x^{3}}{- x^{2} + 1} + \ln (- x^{2} + 1) \cdot 2 x$
	↓	Klammer 2x aus.
	$=$	$2 x (\frac{- x^{2}}{- x^{2} + 1} + \ln (- x^{2} + 1))$

$f (x)$	$=$	$(x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$
	↓	Wende die Produktregel an.
$f^{'} (x)$	$=$	$(2 x + \frac{1}{4}) \cdot (x^{3} + 3) + (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot 3 x^{2}$
	$=$	$2 x^{4} + 6 x + \frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} + 3 x^{4} + \frac{3}{4} x^{3}$
	$=$	$5 x^{4} + x^{3} + 6 x + \frac{3}{4}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} \cdot x$
	↓	Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$	$=$	$2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$3 x^{2}$

$f (x)$	$=$	$(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 7)$
	↓	Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$	$=$	$1 \cdot (x^{2} + x + 7) + (x - 1) \cdot (2 x + 1)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$x^{2} + x + 7 + 2 x^{2} + x - 2 x - 1$
	$=$	$3 x^{2} + 6$

Benutze die Produktregel
	↓
$f^{'} (x)$	$=$	$g^{'} (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h^{'} (x)$
	↓	Einsetzen und Zusammenfassen
	$=$	$28 \cdot (7 x - 1)^{3} \cdot x^{- 2} - 2 (7 x - 1)^{4} \cdot x^{- 3}$
	↓	Verwandle die negativen Potenzen in Brüche
	$=$	$28 \cdot (7 x - 1)^{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} - 2 (7 x - 1)^{4} \cdot \frac{1}{x^{3}}$
	↓	Klammere $(7 x - 1)^{3}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ aus
	$=$	$\frac{(7 x - 1)^{3}}{x^{2}} (28 - \frac{2 (7 x - 1)}{x})$
	↓	Klammere noch eine $2$ aus und löse den Bruch auf
	$=$	$2 \frac{(7 x - 1)^{3}}{x^{2}} (14 - 7 + \frac{1}{x})$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$2 \frac{(7 x - 1)^{3}}{x^{2}} (7 + \frac{1}{x})$

$f (x)$	$=$	$x^{2} \cdot e^{- x}$
	↓	Benutze die Produktregel und die Kettenregel.
	$=$	$2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$
	↓	Vereinfache soweit wie möglich.
	$=$	$2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$
	↓	Klammer $x \cdot e^{- x}$ aus.
	$=$	$x \cdot e^{- x} (2 - x)$
	$=$