Teil 2 Stochastik I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Nach Ihrem Studium arbeiten Sie in einer Süßwarenfabrik, in der Sie unter anderem für die Qualitätssicherung zuständig sind. In der Fabrik werden auch Schokoladentafeln à 100 g hergestellt.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In der Qualitätskontrolle wird eine Tafel auf ihr Sollgewicht hin überprüft. Die Zufallsgröße X gibt das gemessene Gewicht in Gramm an. In folgender Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt. Durchschnittlich wiegt eine Tafel 99,94 g.
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Gewicht einer zufällig herausgegriffenen Tafel Schokolade innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz
Zuerst werden einige Begriffe, wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung wiederholt.
In der vorgelegten Aufgabe sind 5 Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeiten genannt.
Dann gilt: $E (X) = μ = \sum_{i = 1}^{5} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
Für die Varianz $Var (x)$ gilt: $Var (X) = \sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x_{i})$ .
Die Standardabweichung ist $σ = \sqrt{Var (X)}$ .
Man übernimmt die Wahrscheinlichkeitsfunktion und berechnet schrittweise die Standardabweichung $σ$ .
Danach berechnet man $μ - σ$ und $μ + σ$ .
Man schreibt für $p : = P (X = x)$
$\begin{array}{cccccc} x & 98,5 & 99 & 100 & 101 & 101,5 \\ p & 0,05 & 0,1 & 0,75 & 0,07 & 0,03 \\ x - μ & - 1,44 & - 0,94 & 0,06 & 1,06 & 1,56 \\ (x - μ)^{2} & 2,0736 & 0,8836 & 0,0036 & 1,1236 & 2,4336 \\ p \cdot (x - μ)^{2} & 0,10368 & 0,08836 & 0,0027 & 0,078652 & 0,073008 \end{array}$
Damit erhalten wir
$\begin{array}{l} Var (X) = \sum (x - μ)^{2} \cdot P (X = x) \\ = 0,10368 + 0,08836 + 0,0027 + 0,078652 + 0,073008 = 0,3464 \end{array}$
und $σ = 0,588557559$ .
Somit gilt: $μ - σ = 99,35$ und $μ + σ = 100,258$ .
Also ist $P (| X - μ | < σ) = 0,75$ , weil nur die " $100$ -Gramm-Spalte" in diesem Bereich liegt.
Der Erwartungswert $σ$ ist schon gegeben.
Berechne tabellarisch die Varianz und daraus die Standardabweichung.
Vergleiche dann mit der Tabelle, welcher Anteil der Schokolade die Bedingung erfüllt.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Defekt in der Abfüllanlage der Schokoladenmasse erhöht die Gewichtsschwankungen bei den Tafeln. Die Zufallsgröße Y gibt an, um wie viel Gramm das Gewicht einer Tafel von ihrem Sollgewicht abweicht. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y ist in folgender Tabelle dargestellt:
Bis zur Reparatur der Anlage soll die Maschine so eingestellt werden, dass das Durchschnittsgewicht einer Tafel 100 g beträgt. Berechnen Sie den Wert für die einzustellende Gewichtsvorgabe der Abfüllanlage.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert.
$\begin{array}{cccccc} y & - 4 & - 2 & 0 & 2 & 4 \\ P (Y = y) & 0,30 & 0,20 & 0,35 & 0,10 & 0,05 \end{array}$
Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet man den Erwartungswert
$E (Y) = - 4 \cdot 0,30 - 2 \cdot 0,20 + 0 \cdot 0,35 + 2 \cdot 0,10 + 4 \cdot 0,05 = - 1,2$
Somit muss man die Anlage der Maschine auf 101,2g einstellen.
Denn es gilt der Satz: $E (a \cdot X + b) = a \cdot E (X) + b$ ,
Mit $a = 1$ und $b = 1,2$ erhält man: $E (X + 1,2) = E (X) + 1,2 = 100$
Berechne zunächst den Erwartungswert.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Schokoladentafeln gibt es in herkömmlicher Qualität sowie in Bioqualität. Der Hersteller bietet Nussschokoladen (N) und nussfreie Tafeln an. Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass von den Käufern der Nussschokolade 32 % Bioqualität wählen und sich 22 % der Käufer der nussfreien Sorte für das Bioprodukt entscheiden. Im Verkauf beträgt der Bioanteil (B) insgesamt 25 %.
Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms den prozentualen Anteil der Nussschokoladen im Verkauf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm, bedingte Wahrscheinlichkeit
Wir zeichnen einen zweistufigen Baum.
Wir nennen die Wahrscheinlichkeit für Nussschokolade $N$ und die für Bioprodukte $B$ .
In der ersten Stufe unterscheiden wir die Ereignisse ( $N$ ) bzw. $N$ . Die Wahrscheinlichkeiten sind dann $P (N) = p$ und $P (N) = q = 1 - p$ .
In der zweiten Stufe unterscheiden wir die Ereignisse $B$ und $B$ .
Die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden lauten:
$P (B / N) = 0,32$
bzw.
$P (B / N) = 0,22$
Damit haben wir:
$P (B) = P (N \cap B) + P (N \cap B) = p \cdot 0,32 + q \cdot 0,22$
Jetzt vergleichen wir mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit für Bioprodukte und können daraus $p$ berechnen: $P (B) = p \cdot 0,32 + (1 - p) \cdot 0,22 = 0,25$
$⟺ 0,32 \cdot p + 0,22 - 0,22 \cdot p = 0,25$
$⟺ 0,1 \cdot p = 0,25 - 0,22$
$⟺ p = \frac{0,03}{0,1} = 0,3$
Damit sind 30% Nussschokoladen im Verkauf.
Unterscheide in der ersten Stufe die Ereignisse ( $N$ ) bzw. $N$ .

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 24 verkauften Schokoladentafeln genau 25 % Bioqualität haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoullikette
Wir können davon ausgehen, dass der Anteil der Nussschokoladen konstant bleibt.
Dann hat man eine Bernoullikette der Länge $n = 24$ mit dem Parameter $p = 0,3$ . $25 %$ der verkauften Schokoladentafeln sollen Bioqualität haben. Da $25 %$ von $24$ gerade $6$ Stück sind, ist die Anzahl der Treffer $k = 6$ .
Also ist die Wahrscheinlichkeit $P = B (24; 0,3; 6) = (\begin{array}{c} 24 \\ 6 \end{array}) \cdot {0,3}^{6} \cdot {0,7}^{18} = 0,16$ .
Bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit einer Bernoullikette.

In den vergangenen Monaten kam es vermehrt zu Reklamationen von Seiten der Großabnehmer. Durchschnittlich gingen bei 10 % der Lieferungen Beanstandungen ein. Daher wurden Maßnahmen zur Qualitätsverbesserung der Schokoladen durchgeführt. Um zu überprüfen, ob der Anteil der reklamierten Lieferungen nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken ist (Gegenhypothese), werden 200 Lieferungen im Hinblick auf Reklamationen untersucht. Die Fabrikleitung sieht folgendes Testverfahren vor: Sollten bei höchstens 14 der Lieferungen Beanstandungen eingehen, so geht man davon aus, dass die Qualitätsverbessernden Maßnahmen erfolgreich waren und will die dafür zuständigen Mitarbeiter mit einer Bonuszahlung belohnen.

Berechnen Sie für diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:

Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:	Lieferung an Großabnehmer
"Treffer":	Reklamation
Hypothesen im Sachzusammenhang:	Nullhypothese: "Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gleich geblieben." Gegenhypothese: "Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):	Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist gleich geblieben." Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist gesunken."
Fehler 1. Art:	Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gleich geblieben, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, das er gesunken ist.

Danach überträgt man die gegebenen Werte:

Nullhypothese	$H_{0} : p = 10 %$
Gegenhypothese	$H_{1} : p < 10 %$
Stichprobenlänge:	200
Testgröße:	Anzahl der Reklamationen

Und schließlich bestimmt man den Annahme- und den Ablehnungsbereich. In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass "bei höchstens 14" Treffern davon ausgegangen wird, dass die Trefferwahrscheinlichkeit gesunken ist. Also liegt der Annahmebereich zwischen 0 und 14 Treffern, da die Trefferanzahl dann kleiner oder gleich 14 ist. Der Ablehnungsbereich umfasst dann alles, was größer ist als 14:

Annahmebereich:	$A = {0, 1, 2, 3, . . ., 12, 13, 14}$
Ablehnungsbereich:	$A = {15, 16, 17, 18, . . ., 198, 199, 200}$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art

Wie oben festgestellt bedeutet ein Fehler der 1. Art bei diesem Beispiel, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht verändert hat, also immer noch $10 %$ beträgt, man aber aufgrund des Ergebnisses des Testverfahrens davon ausgeht, dass sie gesunken ist. Um diese Annahme zu treffen, müsste die Trefferanzahl im Annahmebereich liegen. Man muss also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter 200 Versuchen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $10 %$ nur höchstens 14 Treffer sind.

F_{0,1}^{200} (i) = \sum_{i = 0}^{14} B (200; 0,1; i) \approx 0,0929462

Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art beträgt also ungefähr $9,29 %$ .

Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

Die Wahrscheinlichkeit, dass fälschlicherweise davon ausgegangen wird, das der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken ist, ist also mit ca. $9,29 %$ ziemlich gering.

Die Verbesserungsmaßnahmen haben dazu geführt, dass der Anteil p der Beanstandungen auf einen Wert von 5 % gesunken ist. Bestimmen Sie hierfür die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und erläutern Sie den Zusammenhang zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung für die betroffenen Mitarbeiter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Berechnen des Fehlers 2. Art
Der Fehler zweiter Art bedeutet, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird. In diesem Fall bedeutet das, dass die Trefferwahrscheinlichkeit auf $5 %$ gesunken ist, man aber aufgrund des Tests davon ausgeht, dass sie gleichgeblieben ist.
$F_{0,05}^{200} (i) = \sum_{i = 15}^{200} B (200; 0,95; i) \approx 0,0781244$
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art beträgt also ungefähr $7,81 %$ .
Erläuterung des Zusammenhangs zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung für die betroffenen Mitarbeiter
Die Mitarbeiter bekommen ihre Bonuszahlungen nur, wenn festgestellt wird, dass der Anteil der reklamierten Lieferungen gesunken ist. Wird der Fehler 2. Art gemacht, so bekommen die Mitarbeiter unrechtmäßig keine Bonuszahlungen.
verwende deine Erkenntnisse aus Teilaufgabe a), die Rechnung ist hier sehr ähnlich
die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt nun nicht mehr $10 %$ , sondern $5 %$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Teil 2 Stochastik I

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Berechnen der Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art

Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

Berechnen des Fehlers 2. Art

Erläuterung des Zusammenhangs zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung für die betroffenen Mitarbeiter