Teil 2 Stochastik I

Zuerst werden einige Begriffe, wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung wiederholt.

In der vorgelegten Aufgabe sind 5 Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeiten genannt.

Dann gilt: $E(X)=\mu ={\sum }_{i=1}^5{x}_i\cdot P(X=x_i)$

Für die Varianz $\mathrm{Var}(x)$ gilt: $\mathrm{Var}(X)={\sum }_{i=1}^5(x_i-\mu {)}^2\cdot P(X=x_i)$.

Die Standardabweichung ist $\sigma =\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$.

Man übernimmt die Wahrscheinlichkeitsfunktion und berechnet schrittweise die Standardabweichung $\sigma$.

Danach berechnet man $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$.

Man schreibt für $p:=P(X=x)$

$\begin{array}{cccccc}x& \mathrm{98,5}& 99& 100& 101& \mathrm{101,5}\\ p& \mathrm{0,05}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,75}& \mathrm{0,07}& \mathrm{0,03}\\ x-\mu & -\mathrm{1,44}& -\mathrm{0,94}& \mathrm{0,06}& \mathrm{1,06}& \mathrm{1,56}\\ (x-\mu {)}^2& \mathrm{2,0736}& \mathrm{0,8836}& \mathrm{0,0036}& \mathrm{1,1236}& \mathrm{2,4336}\\ p\cdot (x-\mu {)}^2& \mathrm{0,10368}& \mathrm{0,08836}& \mathrm{0,0027}& \mathrm{0,078652}& \mathrm{0,073008}\end{array}$

Damit erhalten wir

$\begin{array}{l}\mathrm{Var}(X)=\sum (x-\mu {)}^2\cdot P(X=x)\\ =\mathrm{0,10368}+\mathrm{0,08836}+\mathrm{0,0027}+\mathrm{0,078652}+\mathrm{0,073008}=\mathrm{0,3464}\end{array}$

und $\sigma =\mathrm{0,588557559}$.

Somit gilt: $\mu -\sigma =\mathrm{99,35}$ und $\mu +\sigma =\mathrm{100,258}$.

Also ist $P(|X-\mu |<\sigma )=\mathrm{0,75}$, weil nur die "$100$-Gramm-Spalte" in diesem Bereich liegt.