Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Am $22.02.2020$ kaufte sich Claudia für $2000 €$ Aktien. Sie geht davon aus, dass der Wert $y €$ ihrer Aktien nach $x$ Jahren durch die Funktion $f : y = 2000 \cdot {1,07}^{x}$ mit $(𝔾 = ℝ_{𝟘}^{+} \times ℝ_{𝟘}^{+})$ dargestellt werden kann.
Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.

Die Wertetabelle sollte so aussehen:
x
0
5
10
15
20
25
$f (x)$
$2000$
$2805$
$3934$
$5518$
$7739$
$10854$
Diese Punkte kannst du jetzt einfach in das Koordinatensystem eintragen und miteinander verbinden:

Ergänzen Sie die folgende Aussage. Claudia nimmt an, dass der Wert ihrer Aktien jährlich um ____ Prozent zunimmt.

Claudia multipliziert den Anfangswert ihrer Aktien mit dem Faktor ${1,07}^{x}$ , sie geht also davon aus, dass der Wert ihrer Aktien jährlich um $7 %$ zunimmt.

Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit sich das Anfangskapital verfünffacht hätte.

Das fünffache des Anfangskapitals sind $5 \cdot 2000 € = 10000 €$ . Suche jetzt die Stelle auf dem Graphen, an dem der y-Wert $10000$ beträgt und lies den entsprechenden x-Wert ab:
Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass der x-Wert ungefähr bei $23,..$ liegt. Wirklich verfünffacht hat sich das Anfangskapital dann also nach 24 Jahren.

Claudia plant, am $22.02.2065$ in den Ruhestand zu gehen. Bestimmen Sie rechnerisch, wie viel ihre Aktien zu diesem Zeitpunkt nach der oben getroffenen Annahme wert wären. Runden Sie auf ganze Euro.

Am $22.02.2065$ sind $45$ Jahre vergangen, seit Claudia die Aktien gekauft hat. Um herauszufinden, wie viel ihre Aktien dann wert sind, setzt du einfach den Wert $45$ in die Funktion ein und erhältst:
$f (45) = 2000 \cdot {1,07}^{45} = 42004,90$
Nach der Annahme sind die Aktien zu Claudias Ruhestand also etwa $42005 €$ wert.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Schrägbild zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit dem gleichschenkligen Trapez $A B C D$ als Grundfläche und der Höhe $[Q S]$ . Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ und der Punkt $Q$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[C D]$ .
Es gilt: $[A B] | | [C D]; A B = 6 cm; C D = 10 cm; Q S = 8 cm; P Q = 4 cm$ . Der Punkt $R$ liegt auf der Strecke $[P S]$ mit $P R = 3 cm$ . Er ist der Mittelpunkt der Strecke $[E F] mit E \in [A S], F \in [B S] und [E F] | | [A B]$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Längen der Strecken $[P S]$ und $[E F]$ .
$[$ Ergebnis: $P S = 8,94 cm$ ; $E F = 3,99 cm]$

Die Strecke $[Q S]$ ist die Höhe der Pyramide, sie steht also senkrecht auf der Grundfläche. Damit ist das Dreieck $P Q S$ rechtwinklig und zwei der Seitenlängen sind schon gegeben. Du kannst die Länge von $[P S]$ also mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:
$\begin{array}{ccc} {P S}^{2} & = & 4^{2} + 8^{2} \\ {P S}^{2} & = & 16 + 64 \\ P S & = & \sqrt{80} cm & = 8,94 cm \end{array}$
Um die Länge der Strecke $[E F]$ zu berechnen kannst du den Strahlensatz verwenden.
Denn mit dem zweiten Strahlensatz für die V-Figur gilt:
$\frac{E F}{A B}$ $=$ $\frac{R S}{P S}$
$\frac{E F}{6 cm}$ $=$ $\frac{8,94 cm - 3 cm}{8,94 cm}$ $\cdot 6 cm$
$E F$ $=$ $\frac{5,94 cm \cdot 6 cm}{8,94 cm}$
$E F$ $=$ $3,99 cm$
Und du hast auch die Länge der Strecke $[E F]$ berechnet.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Trapezes $C D E F$ .
$[$ Zwischenergebnis: $∡ Q P S = 63,43 °]$

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen benötigst du die Längen, der zueinander parallelen Seiten (diese kennst du schon: $E F = 3,99 cm$ und $C D = 10 cm$ ), sowie die Länge der Höhe. Die Höhe ist im Trapez $C D E F$ durch die Strecke $[Q R]$ gegeben, die Länge dieser Strecke musst du noch berechnen.
Um $Q R$ zu berechnen kannst du zum Beispiel das Dreieck $P Q R$ betrachten, das wiederum im Dreieck $P Q S$ liegt:
Du kennst bereits die Seitenlängen $P Q = 4 cm$ und $P R = 3 cm$ . Wenn du jetzt noch den Wert des Winkels $∢ Q P R$ (bzw. $∢ Q P S$ ) herausfindest, dann kannst du den Kosinussatz verwenden, um $Q R$ zu erhalten.
Um den Wert von $∢ Q P S$ zu bestimmen, kannst du den Tangens im rechtwinkligen Dreieck $P Q S$ verwenden (es funktioniert aber genauso gut mit Sinus oder Kosinus):
$\tan (∡ P Q S)$ $=$ $\frac{Q S}{P Q}$
↓
Setze die bekannten Längen ein.
$=$ $\frac{8}{4}$ $\tan^{- 1} ()$
↓
Wende die Umkehrfunktion des Tangens an.
$∡ Q P S$ $=$ $\tan^{- 1} (2)$
$∡ Q P S$ $=$ $63,43 °$
Nun wendest du noch den Kosinussatz an und erhältst damit $Q R$ :
${Q R}^{2}$ $=$ ${P Q}^{2} + {P R}^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos (∡ P Q R)$
↓
Setze die Werte ein.
${Q R}^{2}$ $=$ $(4 cm)^{2} + (3 cm)^{2} - 2 \cdot (4 cm) \cdot (3 cm) \cdot \cos (63,43 °)$
${Q R}^{2}$ $=$ $14,27 {cm}^{2}$ $\sqrt{}$
$Q R$ $=$ $3,78 cm$
Damit hast du jetzt alles, was du brauchst, um den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel zu berechnen:
$A_{C D E F} = \frac{1}{2} (A B + C D) \cdot Q R = \frac{1}{2} (3,99 cm + 10 cm) \cdot (3,78 cm) = 26,44 {cm}^{2}$

Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[Q S]$ mit $[R T] | | [P Q]$ . Das Dreieck $E F T$ ist die Grundfläche der Pyramide $E F T S$ mit der Spitze $S .$
Zeichnen Sie die Pyramide $E$ $F T S$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramide $E F T S$ .

Einzeichnen der Pyramide $E$ $F T S$ in das Schrägbild
Für das Pyramidenvolumen gilt:
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
In Aufgabe a) wurde $E F = 3,99 cm$ berechnet. Es müssen noch die Strecken $R T$ und $S T$ berechnet werden. In Aufgabe b) wurde der Winkel $∡ Q P S = 63,43 °$ berechnet. Es gilt: $∡ T R S = ∡ Q P S = 63,43 °$
Im Dreieck $R T S$ kann der Kosinus angewendet werden:
$\cos ∡ T R S$ $=$ $\frac{R T}{R S}$
$=$ $\frac{R T}{P S - P R}$
↓
Setze die Werte ein.
$\cos {63,43}^{\circ}$ $=$ $\frac{R T}{(8,94 - 3)}$ $\cdot (8,94 - 3)$
$\cos {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$ $=$ $R T$
$2,66$ $\approx$ $R T$
Damit ist $R T = 2,66 cm$ .
Im Dreieck $R T S$ kann der Sinus angewendet werden:
$\sin ∡ T R S$ $=$ $\frac{S T}{R S}$
$=$ $\frac{S T}{P S - P R}$
↓
Setze die Werte ein.
$\sin {63,43}^{\circ}$ $=$ $\frac{S T}{(8,94 - 3)}$ $\cdot (8,94 - 3)$
$\sin {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$ $=$ $S T$
$5,31$ $\approx$ $S T$
Damit ist $S T = 5,31 cm$ .
Setze alle Werte in die Volumenformel ein:
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
↓
Setze alle Werte ein.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,99 cm \cdot 2,66 cm \cdot 5,31 cm$
$\approx$ $9,39 {cm}^{3}$
Das Volumen der Pyramide $E F T S$ beträgt $9,39 {cm}^{3}$ .
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die untenstehende Skizze zeigt das Dreieck $A B C$ mit $A B = 7 cm, B C = 5 cm$ und $∡ A C B = 40 °$ . Die Strecke $[D E]$ wird durch die Punkte $D \in [A C]$ und $E \in [B C]$ festgelegt. Es gilt: $[A B] | | [D E]; D E = 3,6 cm$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Länge der Strecke $[B E]$ .
$[$ Ergebnis: $B E = 2,43 cm]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
Lösung Teilaufgabe a
$B E = B C - E C$
Berechne zunächst $E C$ und verwende hierfür den Strahlensatz.
$\frac{E C}{B C} = \frac{D E}{A B}$
$\frac{E C}{5 cm} = \frac{3,6 cm}{7 cm}$
$E C = 2,57 cm$
$B E = 5 cm - 2,57 cm = 2,43 cm$

Berechnen Sie den Abstand $d$ der Strecken $[A B] und [D E]$ .

Lösung Teilaufgabe b
$d$ ist der Abstand der Strecken [AB] und [DE].
Dann gilt:
$\cos (∢ C B A - 90 °) = \frac{d}{B E}$
Um den Winkel $∢ C B A$ zu bestimmen, berechne zunächst den Winkel $∢ B A C$ . Wende hierzu den Sinussatz auf das Dreieck $A C B$ an.
$$
$\frac{\sin (∢ B A C)}{B C} = \frac{\sin 40 °}{7 cm}$
$\frac{\sin (∢ B A C)}{5 cm} = \frac{\sin 40 °}{7 cm}$
$\sin (∢ B A C) = \frac{\sin 40 ° \cdot 5 cm}{7 cm} = \frac{3,2139 cm}{7 cm} = 0,4591$ $$
$∢ B A C = \sin^{- 1} (0,4591) = 27,33 °$
Da die Winkelsumme im Dreieck $180 °$ beträgt, ergibt sich
$∢ C B A = 180 ° - 40 ° - 27,33 ° = 112,67 °$
$\cos (112,67 ° - 90 °) = \frac{d}{2,43 cm}$
$d = \cos (22,67 °) \cdot 2,43 cm = 2,24 cm$
Der Abstand $d$ der Strecken $[A B]$ und $[D E]$ beträgt $2,24 cm$ .

x	0	5	10	15	20	25
$f (x)$	$2000$	$2805$	$3934$	$5518$	$7739$	$10854$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{E F}{A B}$	$=$	$\frac{R S}{P S}$
$\frac{E F}{6 cm}$	$=$	$\frac{8,94 cm - 3 cm}{8,94 cm}$	$\cdot 6 cm$
$E F$	$=$	$\frac{5,94 cm \cdot 6 cm}{8,94 cm}$
$E F$	$=$	$3,99 cm$

$\tan (∡ P Q S)$	$=$	$\frac{Q S}{P Q}$
	↓	Setze die bekannten Längen ein.
	$=$	$\frac{8}{4}$	$\tan^{- 1} ()$
	↓	Wende die Umkehrfunktion des Tangens an.
$∡ Q P S$	$=$	$\tan^{- 1} (2)$
$∡ Q P S$	$=$	$63,43 °$

${Q R}^{2}$	$=$	${P Q}^{2} + {P R}^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos (∡ P Q R)$
	↓	Setze die Werte ein.
${Q R}^{2}$	$=$	$(4 cm)^{2} + (3 cm)^{2} - 2 \cdot (4 cm) \cdot (3 cm) \cdot \cos (63,43 °)$
${Q R}^{2}$	$=$	$14,27 {cm}^{2}$	$\sqrt{}$
$Q R$	$=$	$3,78 cm$

$\cos ∡ T R S$	$=$	$\frac{R T}{R S}$
	$=$	$\frac{R T}{P S - P R}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\cos {63,43}^{\circ}$	$=$	$\frac{R T}{(8,94 - 3)}$	$\cdot (8,94 - 3)$
$\cos {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$	$=$	$R T$
$2,66$	$\approx$	$R T$

$\sin ∡ T R S$	$=$	$\frac{S T}{R S}$
	$=$	$\frac{S T}{P S - P R}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\sin {63,43}^{\circ}$	$=$	$\frac{S T}{(8,94 - 3)}$	$\cdot (8,94 - 3)$
$\sin {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$	$=$	$S T$
$5,31$	$\approx$	$S T$

$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
	↓	Setze alle Werte ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,99 cm \cdot 2,66 cm \cdot 5,31 cm$
	$\approx$	$9,39 {cm}^{3}$

Teil A

Lösung Teilaufgabe a

Lösung Teilaufgabe b