Teil A

Das Schrägbild zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit dem gleichschenkligen Trapez $A B C D$ als Grundfläche und der Höhe $[Q S]$ . Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A B]$ und der Punkt $Q$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[C D]$ .

Es gilt: $[A B] | | [C D]; A B = 6 cm; C D = 10 cm; Q S = 8 cm; P Q = 4 cm$ . Der Punkt $R$ liegt auf der Strecke $[P S]$ mit $P R = 3 cm$ . Er ist der Mittelpunkt der Strecke $[E F] mit E \in [A S], F \in [B S] und [E F] | | [A B]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Längen der Strecken $[P S]$ und $[E F]$ .
$[$ Ergebnis: $P S = 8,94 cm$ ; $E F = 3,99 cm]$

Die Strecke $[Q S]$ ist die Höhe der Pyramide, sie steht also senkrecht auf der Grundfläche. Damit ist das Dreieck $P Q S$ rechtwinklig und zwei der Seitenlängen sind schon gegeben. Du kannst die Länge von $[P S]$ also mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:
$\begin{array}{ccc} {P S}^{2} & = & 4^{2} + 8^{2} \\ {P S}^{2} & = & 16 + 64 \\ P S & = & \sqrt{80} cm & = 8,94 cm \end{array}$
Um die Länge der Strecke $[E F]$ zu berechnen kannst du den Strahlensatz verwenden.
Denn mit dem zweiten Strahlensatz für die V-Figur gilt:
$\frac{E F}{A B}$ $=$ $\frac{R S}{P S}$
$\frac{E F}{6 cm}$ $=$ $\frac{8,94 cm - 3 cm}{8,94 cm}$ $\cdot 6 cm$
$E F$ $=$ $\frac{5,94 cm \cdot 6 cm}{8,94 cm}$
$E F$ $=$ $3,99 cm$
Und du hast auch die Länge der Strecke $[E F]$ berechnet.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Trapezes $C D E F$ .
$[$ Zwischenergebnis: $∡ Q P S = 63,43 °]$

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen benötigst du die Längen, der zueinander parallelen Seiten (diese kennst du schon: $E F = 3,99 cm$ und $C D = 10 cm$ ), sowie die Länge der Höhe. Die Höhe ist im Trapez $C D E F$ durch die Strecke $[Q R]$ gegeben, die Länge dieser Strecke musst du noch berechnen.
Um $Q R$ zu berechnen kannst du zum Beispiel das Dreieck $P Q R$ betrachten, das wiederum im Dreieck $P Q S$ liegt:
Du kennst bereits die Seitenlängen $P Q = 4 cm$ und $P R = 3 cm$ . Wenn du jetzt noch den Wert des Winkels $∢ Q P R$ (bzw. $∢ Q P S$ ) herausfindest, dann kannst du den Kosinussatz verwenden, um $Q R$ zu erhalten.
Um den Wert von $∢ Q P S$ zu bestimmen, kannst du den Tangens im rechtwinkligen Dreieck $P Q S$ verwenden (es funktioniert aber genauso gut mit Sinus oder Kosinus):
$\tan (∡ P Q S)$ $=$ $\frac{Q S}{P Q}$
↓
Setze die bekannten Längen ein.
$=$ $\frac{8}{4}$ $\tan^{- 1} ()$
↓
Wende die Umkehrfunktion des Tangens an.
$∡ Q P S$ $=$ $\tan^{- 1} (2)$
$∡ Q P S$ $=$ $63,43 °$
Nun wendest du noch den Kosinussatz an und erhältst damit $Q R$ :
${Q R}^{2}$ $=$ ${P Q}^{2} + {P R}^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos (∡ P Q R)$
↓
Setze die Werte ein.
${Q R}^{2}$ $=$ $(4 cm)^{2} + (3 cm)^{2} - 2 \cdot (4 cm) \cdot (3 cm) \cdot \cos (63,43 °)$
${Q R}^{2}$ $=$ $14,27 {cm}^{2}$ $\sqrt{}$
$Q R$ $=$ $3,78 cm$
Damit hast du jetzt alles, was du brauchst, um den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel zu berechnen:
$A_{C D E F} = \frac{1}{2} (A B + C D) \cdot Q R = \frac{1}{2} (3,99 cm + 10 cm) \cdot (3,78 cm) = 26,44 {cm}^{2}$
Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[Q S]$ mit $[R T] | | [P Q]$ . Das Dreieck $E F T$ ist die Grundfläche der Pyramide $E F T S$ mit der Spitze $S .$
Zeichnen Sie die Pyramide $E$ $F T S$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramide $E F T S$ .

Einzeichnen der Pyramide $E$ $F T S$ in das Schrägbild
Für das Pyramidenvolumen gilt:
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
In Aufgabe a) wurde $E F = 3,99 cm$ berechnet. Es müssen noch die Strecken $R T$ und $S T$ berechnet werden. In Aufgabe b) wurde der Winkel $∡ Q P S = 63,43 °$ berechnet. Es gilt: $∡ T R S = ∡ Q P S = 63,43 °$
Im Dreieck $R T S$ kann der Kosinus angewendet werden:
$\cos ∡ T R S$ $=$ $\frac{R T}{R S}$
$=$ $\frac{R T}{P S - P R}$
↓
Setze die Werte ein.
$\cos {63,43}^{\circ}$ $=$ $\frac{R T}{(8,94 - 3)}$ $\cdot (8,94 - 3)$
$\cos {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$ $=$ $R T$
$2,66$ $\approx$ $R T$
Damit ist $R T = 2,66 cm$ .
Im Dreieck $R T S$ kann der Sinus angewendet werden:
$\sin ∡ T R S$ $=$ $\frac{S T}{R S}$
$=$ $\frac{S T}{P S - P R}$
↓
Setze die Werte ein.
$\sin {63,43}^{\circ}$ $=$ $\frac{S T}{(8,94 - 3)}$ $\cdot (8,94 - 3)$
$\sin {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$ $=$ $S T$
$5,31$ $\approx$ $S T$
Damit ist $S T = 5,31 cm$ .
Setze alle Werte in die Volumenformel ein:
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
↓
Setze alle Werte ein.
$=$ $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,99 cm \cdot 2,66 cm \cdot 5,31 cm$
$\approx$ $9,39 {cm}^{3}$
Das Volumen der Pyramide $E F T S$ beträgt $9,39 {cm}^{3}$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{E F}{A B}$	$=$	$\frac{R S}{P S}$
$\frac{E F}{6 cm}$	$=$	$\frac{8,94 cm - 3 cm}{8,94 cm}$	$\cdot 6 cm$
$E F$	$=$	$\frac{5,94 cm \cdot 6 cm}{8,94 cm}$
$E F$	$=$	$3,99 cm$

$\tan (∡ P Q S)$	$=$	$\frac{Q S}{P Q}$
	↓	Setze die bekannten Längen ein.
	$=$	$\frac{8}{4}$	$\tan^{- 1} ()$
	↓	Wende die Umkehrfunktion des Tangens an.
$∡ Q P S$	$=$	$\tan^{- 1} (2)$
$∡ Q P S$	$=$	$63,43 °$

${Q R}^{2}$	$=$	${P Q}^{2} + {P R}^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos (∡ P Q R)$
	↓	Setze die Werte ein.
${Q R}^{2}$	$=$	$(4 cm)^{2} + (3 cm)^{2} - 2 \cdot (4 cm) \cdot (3 cm) \cdot \cos (63,43 °)$
${Q R}^{2}$	$=$	$14,27 {cm}^{2}$	$\sqrt{}$
$Q R$	$=$	$3,78 cm$

$\cos ∡ T R S$	$=$	$\frac{R T}{R S}$
	$=$	$\frac{R T}{P S - P R}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\cos {63,43}^{\circ}$	$=$	$\frac{R T}{(8,94 - 3)}$	$\cdot (8,94 - 3)$
$\cos {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$	$=$	$R T$
$2,66$	$\approx$	$R T$

$\sin ∡ T R S$	$=$	$\frac{S T}{R S}$
	$=$	$\frac{S T}{P S - P R}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\sin {63,43}^{\circ}$	$=$	$\frac{S T}{(8,94 - 3)}$	$\cdot (8,94 - 3)$
$\sin {63,43}^{\circ} \cdot (8,94 - 3)$	$=$	$S T$
$5,31$	$\approx$	$S T$

$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot E F \cdot R T \cdot S T$
	↓	Setze alle Werte ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,99 cm \cdot 2,66 cm \cdot 5,31 cm$
	$\approx$	$9,39 {cm}^{3}$