Definition der linearen Abbildung

DefinitionLineare Abbildung

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über demselben Körper $K$ . Dabei seien $+_{_{V}} : V \times V \to V$ und $+_{_{W}} : W \times W \to W$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen.

Weiter seien $\cdot_{_{V}} : K \times V \to V$ und $\cdot_{_{W}} : K \times W \to W$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f : V \to W$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ , wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

Additivität: Für alle $v_{1}, v_{2} \in V$ gilt, dass $f (v_{1} +_{_{V}} v_{2}) = f (v_{1}) +_{_{W}} f (v_{2})$
Homogenität: Für alle $v \in V$ und $λ \in K$ gilt, dass $f (λ \cdot_{_{V}} v) = λ \cdot_{_{W}} f (v)$

Beachte

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach $+$ anstatt $+_{_{V}}$ und $+_{_{W}}$ . Ebenso wird häufig $\cdot$ anstelle von $\cdot_{_{V}}$ und $\cdot_{_{W}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.

Hinweis:

In der Literatur wird für den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind $f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})$ und $f (λ \cdot v) = λ \cdot f (v)$ . Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man $v_{1}$ und $v_{2}$ zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (\underset{Addition}{\underset{⏟}{v_{1} + v_{2}}})}} = \underset{Addition}{\underset{⏟}{\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{1})}} + \underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{2})}}}}

Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon, ob man zuerst $v$ mit $λ$ multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit $λ$ multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

\underset{\begin{array}{c} Funktionsabbildung \end{array}}{\underset{⏟}{f (\underset{\begin{array}{c} skalare Multiplikation \end{array}}{\underset{⏟}{λ \cdot v}})}} = \underset{skalare Multiplikation}{\underset{⏟}{λ \cdot \underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v)}}}}

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

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