Eigenschaften Linearer Abbildungen

Wir betrachten einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung
Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet
Inverse werden auf Inverse abgebildet
Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet
Spanne werden auf Spanne abgebildet

Zusammenfassung

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung $f : V \to W$

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: $f (0) = 0$
Inverse werden auf Inverse abgebildet: $f (- v) = - f (v)$
Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: $f (span (M)) = span (f (M))$ ( $M \subseteq V$ ist eine beliebige Menge)

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet

Der Ursprung hat in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung. Deshalb sollte der Ursprung durch eine lineare Abbildung auf den Ursprung geschickt werden. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen, ist formal das neutrale Element $0$ der Addition. Wir zeigen also folgenden Satz:

SatzNullvektor wird auf Nullvektor abgebildet

Jede lineare Abbildung $f : V \to W$ zwischen zwei $K$ -Vektorräumen bildet das neutrale Element von $V$ auf das neutrale Element in $W$ ab. Formal bedeutet das $f (0_{V}) = 0_{W} .$

BeweisNullvektor wird auf Nullvektor abgebildet

Es ist:

$\begin{aligned} f (0_{V}) \\ ↓ 0_{V} = 0_{V} +_{_{V}} 0_{V} \\ = & f (0_{V} +_{_{V}} 0_{V}) \\ ↓ Additivität von f \\ = & f (0_{V}) +_{_{W}} f (0_{V}) . \end{aligned}$

Wir haben also:

$f (0_{V}) = f (0_{V}) +_{_{W}} f (0_{V}) .$

Nun addieren wir $- f (0_{V})$ zu beiden Seiten:

$\begin{aligned} 0_{W} = & f (0_{V}) +_{_{W}} (- f (0_{V})) \\ = & f (0_{V}) +_{_{W}} f (0_{V}) +_{_{W}} (- f (0_{V})) \\ = & f (0_{V}) +_{_{W}} 0_{W} \\ = & f (0_{V}) . \end{aligned}$

Somit gilt $0_{W} = f (0_{V})$

Inverse werden auf Inverse abgebildet

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein additives Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass Inverse durch lineare Abbildungen erhalten bleiben.

SatzInverses wird auf Inverses abgebildet

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle $v$ in $V$ gilt $f (- v) = - f (v)$ .

BeweisInverses wird auf Inverses abgebildet

Sei $v$ ein beliebiges Element des Vektorraums $V$ .

$\begin{aligned} f (- v) \\ ↓ - v = (- 1) \cdot_{_{V}} v \\ = & f ((- 1) \cdot_{_{V}} v) \\ ↓ Homogenität von f \\ = & (- 1) \cdot_{_{W}} f (v) \\ ↓ (- 1) \cdot_{_{W}} f (v) = - f (v) \\ = & - f (v) \end{aligned}$

Somit gilt nun $f (- v) = - f (v)$ .

Wir haben hier benutzt, dass $- v = (- 1) \cdot_{_{V}} v - v = (- 1) \cdot_{_{V}} v$ für $v \in V$ und $- w = (- 1) \cdot_{_{W}} w - w = (- 1) \cdot_{_{W}} w$ für alle $w \in W w \in W$ . Dieser Zusammenhang gilt in jedem Vektorraum. Den Beweis findest du hier:

Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab:

Satz

Eine Abbildung $f : V \to W$ zwischen zwei $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ und $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in K$ gilt:

$f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot_{_{V}} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot_{_{W}} f (v_{i})$

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen $f : V_{1} \to V_{2}$ und $g : V_{2} \to V_{3}$ . Beide vertragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen $g \circ f : V_{1} \to V_{3}$ mit $(g \circ f) (v) = g (f (v))$ gelten. Dies beweist der folgende Satz:

SatzKomposition linearer Abbildungen

Seien $f : V_{1} \to V_{2}$ und $g : V_{2} \to V_{3}$ zwei lineare Abbildungen zwischen den $K$ -Vektorräumen $V_{1}$ , $V_{2}$ und $V_{3}$ . Dann ist auch die Komposition $g \circ f : V_{1} \to V_{3}$ dieser beiden Abbildungen mit $(g \circ f) (v) = g (f (v))$ für $v \in V_{1}$ eine lineare Abbildung.

Beweis

Seien zunächst $v_{1}, v_{2} \in V_{1}$ zwei beliebige Vektoren. Es ist

$\begin{aligned} (g \circ f) (v_{1} + v_{2}) \\ ↓ Definition von g \circ f \\ = & g (f (v_{1} + v_{2})) \\ ↓ Additivität von f \\ = & g (f (v_{1}) + (v_{2})) \\ ↓ Additivität von g \\ = & g (f (v_{1})) + g (f (v_{2})) \\ ↓ Definition von g \circ f \\ (g \circ f) (v_{1}) + (g \circ f) (v_{2}) \end{aligned}$

Zum Beweis der Homogenität wählen wir ein beliebiges $λ \in K$ und ein beliebiges $v \in V_{1}$ :

$\begin{aligned} (g \circ f) (λ \cdot v) \\ ↓ Definition von g \circ f \\ = & g (f (λ \cdot v)) \\ ↓ Homogenität von f \\ = & g (λ \cdot f (v)) \\ ↓ Homogenität von g \\ = & λ \cdot g (f (v)) \\ ↓ Definition von g \circ f \\ λ \cdot (g \circ f) (v) \end{aligned}$

Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Satz

Sei $f : V \to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ . Dann ist das Bild $f (U) = {f (v) : v \in U}$ jedes Untervektorraums $U \subseteq V$ ein Untervektorraum in $W$ .

Beachte

Obiger Satz beweist auch, dass das Bild $f (V)$ einer linearen Abbildung $f : V \to W$ stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum $V$ auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit $f (V) = {f (v) : v \in V}$ ein Untervektorraum von $W .$

Spanne werden auf Spanne abgebildet

Nehmen wir nun an, wir haben eine Teilmenge $M \subseteq V$ . Für diese Teilmenge gilt nun, dass es egal ist, ob wir zunächst den Spann berechnen und anschließend die Abbildung anwenden oder umgekehrt.

Dass dem wirklich so ist, zeigen wir mit dem folgenden Satz:

SatzSpann vom Bild ist Bild vom Spann

Sei $M \subseteq V$ eine beliebige Teilmenge (nicht zwingend ein Untervektorraum!) des Vektorraumes $V$ , dann gilt für den Spann von $M$ :

$span (f (M)) = f (span (M))$