Aufgaben zu linearen Abbildungen

1
Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Beweise, dass die Identität $id : V \to V$ mit $id (v) = v$ eine lineare Abbildung ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen
Die Identität ist additiv:
Seien $v, w \in V$ , dann gilt
$i d (v + w) = v + w = i d (v) + i d (w) .^{}$
Die Identität ist homogen:
Seien $λ \in K$ und $v \in V$ , dann gilt
$id (λ \cdot v) = λ \cdot v = λ \cdot id (v) .$
2
Seien $V$ , $W$ zwei $K$ -Vektorräume. Zeige, dass die Nullabbildung $f : V \to W$ , die alle Vektoren $v \in V$ auf den Nullvektor $0_{W}$ abbildet, linear ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen
$f$ ist additiv:
Seien $v_{1}, v_{2}$ Vektoren in $V$ . Dann gilt
$f (v_{1} + v_{2}) = 0_{W} = 0_{W} + 0_{W} = f (v_{1}) + f (v_{2}) .$
$f$ ist homogen:
Sei $v \in V$ und sei $λ \in K$ . So folgt
$f (λ \cdot v) = 0_{W} = λ \cdot 0_{W} = λ \cdot f (v) .$
Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.
3
Sei $g : ℝ \to ℝ$ , $x \mapsto m \cdot x + t$ mit $m, t \in ℝ$ . Zeige: $g$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t = 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen
Beweischschrit: Wenn $g$ linear ist, ist $t = 0$ .
Sei zunächst $g$ eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss $g (0) = 0$ gelten. Nun ist $g (0) = t$ und damit muss $t = 0$ sein.
Beweisschritt: Wenn $t = 0$ ist, ist $g$ linear.
Sei nun $t = 0$ . Wir zeigen $g : ℝ \to ℝ$ , $x \mapsto m \cdot x$ ist linear:
Beweisschritt: Additivität
Seien $x$ und $y$ zwei beliebige reele Zahlen. Es ist
$g (x + y)$ $=$ $m \cdot (x + y)$
↓
Definition von $g$
$=$ $m \cdot x + m \cdot y$
↓
Distributivgesetz
$=$ $g (x) + g (y)$
↓
Definition von $g$
Beweisschritt: Homogenität
Sei $x$ und $λ$ zwei reele Zahlen. Es ist
$g (λ \cdot x)$ $=$ $m \cdot (λ \cdot x)$
↓
Definition von $g$
$=$ $m \cdot λ \cdot x$
$=$ $λ \cdot (m \cdot x)$
↓
Definition von $g$
$=$ $λ \cdot g (x)$
Also ist $g$ genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t = 0$ ist.
4
Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension
Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums $ℝ^{3}$ auf die Ebene $ℝ^{2} :$
$f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}; (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren $a, b \in ℝ^{3}$ gilt
$f (a + b) = f (a) + f (b)$
Dies können wir direkt nachweisen:
$\begin{array}{ll} f (a + b) & = f ((\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array}) + (\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{array})) = f ((\begin{array}{c} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{array})) \\ = (\begin{array}{c} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \end{array}) + (\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \end{array}) \\ = f ((\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array})) + f ((\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{array})) = f (a) + f (b) . \end{array}$
Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle $λ \in ℝ$ und $a \in ℝ^{2}$ soll gelten:
$f (λ \cdot a) = λ \cdot f (a) .$
Es ist
$\begin{array}{ll} f (λ \cdot a) & = f (λ \cdot (\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array})) = f ((\begin{array}{c} λ a_{x} \\ λ a_{y} \\ λ a_{z} \end{array})) \\ = (\begin{array}{c} λ a_{x} \\ λ a_{y} \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \end{array}) = λ \cdot f ((\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array})) \\ = λ \cdot f (a) . \end{array}$
Damit ist die Projektion $f$ eine lineare Abbildung.

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$g (x + y)$	$=$	$m \cdot (x + y)$
	↓	Definition von $g$
	$=$	$m \cdot x + m \cdot y$
	↓	Distributivgesetz
	$=$	$g (x) + g (y)$
	↓	Definition von $g$

$g (λ \cdot x)$	$=$	$m \cdot (λ \cdot x)$
	↓	Definition von $g$
	$=$	$m \cdot λ \cdot x$
	$=$	$λ \cdot (m \cdot x)$
	↓	Definition von $g$
	$=$	$λ \cdot g (x)$

Aufgaben zu linearen Abbildungen

Beweischschrit: Wenn g linear ist, ist t=0.

Beweisschritt: Wenn t=0 ist, ist g linear.

Beweisschritt: Additivität

Beweisschritt: Homogenität

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension

Beweischschrit: Wenn $g$ linear ist, ist $t = 0$ .

Beweisschritt: Wenn $t = 0$ ist, ist $g$ linear.