Sachaufgaben zu Volumen und Oberfläche

1
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Durchmesser von $8 m$ und einer Höhe von $5 m$ .
Berechne das Volumen, die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Zylinders
Der Radius $r$ ist halb so lang wie der Durchmesser, also gilt $r = 4 m$ .
$\begin{array}{l} V = r^{2} πh \\ M = 2 rπh \\ O = 2 r^{2} π + 2 rπh \end{array}$
$V = r^{2} πh = (4 m)^{2} \cdot 3,14 \cdot 5 m = 16 m^{2} \cdot 3,14 \cdot 5 m = 251,2 m^{3}$
$M = 2 r πh = 2 (4 m) \cdot 3,14 \cdot 5 m = 8 m \cdot 3,14 \cdot 5 m = 125,6 m^{2}$
$O = 2 r^{2} π + 2 rπh = 2 (4 m)^{2} \cdot 3,14 + 2 \cdot 4 m \cdot 3,14 \cdot 5 m$
$= 100,48 m^{2} + 125,60 m^{2} = 226,08 m^{2}$
Das Volumen des Zylinders beträgt $251,2 m^{3}$ , die Mantelfläche $125,6 m^{2}$ und die Oberfläche $226,08 m^{2}$ .
2
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Oberfläche von $150,72 c m^{2}$ und einem Durchmesser von $6 c m$ .
Berechne die Höhe des Zylinders.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders
$O = 2 r^{2} π + 2 rπh | - 2 r^{2} π$
$O - 2 r^{2} π = 2 r π h | : 2 r π$
$h = \frac{O - 2 r^{2} π}{2 r π}$
$h = \frac{150,72 - 2 \cdot 9 \cdot 3,14}{2 \cdot 3 \cdot 3,14} = \frac{150,72 - 56,52}{18,84} = \frac{94,2}{18,84} = 5$
Die Höhe des Zylinders beträgt $5 c m$ .
3
Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von $h = 15 cm$ . Außerdem hat es den maximalen Durchmesser $d 1 = 7,5 cm$ und den minimalen Durchmesser $d 2 = 4,5 cm$ .
Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Abschätzung nach oben
Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d 1$ hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
$V_{Weißbierglas} \leq V_{{Zylinder mit Durchmesser d1}_{}}$
Abschätzung nach unten
Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d 2$ hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
$V_{Weißbierglas} \geq V_{Zylinder mit Durchmesser d2}$
Berechnung der Zylindervolumen
Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel $V = r^{2} \cdot π \cdot h$ und die Beziehung $d = \frac{r}{2}$ :
$V_{Zylinder mit Durchmesser d1} = (\frac{d 1}{2})^{2} \cdot π \cdot h = (\frac{7,5}{2})^{2} \cdot π \cdot 15 c m^{3} \approx 663 c m^{3} = 0.663 l$
$V_{Zylinder mit Durchmesser d2} = (\frac{d 2}{2})^{2} \cdot π \cdot h = (\frac{4,5}{2})^{2} \cdot π \cdot 15 c m^{3} \approx 239 c m^{3} = 0.239 l$
Volumen Weißbierglas
Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:
$0.239 l \leq V_{Weißbierglas} \leq 0.663 l$
Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.

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Sachaufgaben zu Volumen und Oberfläche

Abschätzung nach oben

Abschätzung nach unten

Berechnung der Zylindervolumen

Volumen Weißbierglas