Aufgaben zu linearen Ungleichungen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Die Versicherung A bezahlt 90% der um 300 € verminderten Schadenssumme, die Versicherung B übernimmt 85% des um 200€ verminderten Schadens. Bis zu welcher Schadenssumme ist bei gleicher Jahresprämie die Versicherung B günstiger?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Versicherung A
$x =$ Schadensersatzsumme
Term $\to (x - 300) \cdot 0,9$
Versicherung B
$x =$ Schadensersatzsumme
Term $\to (x - 200) \cdot 0,85$
$(x - 200) \cdot 0,85$ $>$ $(x - 300) \cdot 0,9$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$0,85 x - 170$ $>$ $0,9 x - 270$ $+ 270$
$0,85 x + 100$ $>$ $0,9 x$ $- 0,85 x$
$100$ $>$ $0,05 x$ $: 0,05$
$2000$ $>$ $x$
Also gilt: $x \in] - \infty; 2000 [$
$\Rightarrow$ Versicherung B ist bis zu einer Schadenssumme von $x < 2000$ günstiger.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Der Term $K = 0,85 x + 24$ liefert die Kosten bei der Produktion von $x$ Stück einer Ware.
Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung $E = 1,45$ $x$ . Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Die Firma erzielt einen Gewinn, sobald der Erlös höher als die Kosten ist:
$0,85 x + 24$ $<$ $1,45 x$ $- 0,85 x$
$24$ $<$ $0,6 x$ $: 0,6$
$40$ $<$ $x$
$x \in] 40; \infty; [$
$\Rightarrow$ Die Firma erzielt ab einer Stückzahl von $x > 40$ einen Gewinn.

Löse folgende Ungleichungen

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$\frac{1}{2} - 3 x > x + 2,75$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
$\frac{1}{2} - 3 x$ $>$ $x + 2,75$
↓
Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,5 - 3 x$ $>$ $x + 2,75$ $+ 3 x$
$0,5$ $>$ $4 x + 2,75$ $- 2,75$
$- 2,25$ $>$ $4 x$ $: 4$
↓
Vertausche die linke und rechte Seite
$x$ $<$ $- 0,5625$
Antwort: $x \in] - \infty; - 0,5625 [$

$\frac{5}{8} \cdot (x - 0,4) - 2 < x - 10$

$\frac{3}{7} \cdot (2 - 3 x) - 1 \geq \frac{1}{2} \cdot (3 x - 5)$

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$\frac{12 - 5 x}{7} \leq 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
$\frac{12 - 5 x}{7}$ $\leq$ $3$ $\cdot 7$
$12 - 5 x$ $\leq$ $21$ $- 12$
$- 5 x$ $\leq$ $9$ $: (- 5)$
↓
Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$x$ $\geq$ $- \frac{9}{5}$
Antwort: $x \in [- \frac{9}{5}; \infty [$

$\frac{8 - 3 x}{5} \geq 5 - 2 x$

$\frac{x - 0,3}{5} \leq \frac{7 - x}{2}$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2 - x}{4} > \frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$

4
Löse folgende Ungleichung:
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$2 x - 3 \geq 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\begin{array}{rcll} 2 x - 3 & \geq & 4 & | + 3 \\ 2 x & \geq & 7 & | : 2 \\ x & \geq & \frac{7}{2} \\ x & \geq & 3,5 \end{array}$
Lösung: $x \geq 3,5$ bzw. $x \in [3,5; \infty [$

raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
$3 - 0,2 x \leq 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\begin{array}{rcll} 3 - 0,2 x & \leq & 4 & | - 3 \\ - 0,2 x & \leq & 1 & | : 0,2 \\ - x & \leq & 5 & | \cdot (- 1) \\ x & \geq & - 5 \end{array}$
Das Vergleichszeichen muss umgedreht werden, da die Ungleichung mit $(- 1)$ multipliziert wurde.
Lösung: $x \geq - 5$ bzw. $x \in [- 5; \infty [$

Löse die folgenden Ungleichungen.

$\frac{1}{3} x - 5 \leq \frac{1}{4} x + 3$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\frac{2 - x}{3} + 5 \geq \frac{x}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Ungleichungen
$\frac{2 - x}{3} + 5$ $\geq$ $\frac{x}{2}$
↓
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 (2 - x)}{6} + 5$ $\geq$ $\frac{3 x}{6}$ $\cdot 6$
$2 (2 - x) + 5 \cdot 6$ $\geq$ $3 x$
$2 (2 - x) + 30$ $\geq$ $3 x$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$4 - 2 x + 30$ $\geq$ $3 x$ $+ 2 x$
$34$ $\geq$ $5 x$ $: 5$
$\frac{34}{5}$ $\geq$ $x$
$x \in] - \infty; \frac{34}{5}]$
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6) < 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$ $<$ $6$
↓
Klammer ausmultiplizieren.
$- \frac{x}{2} + 3$ $<$ $6$ $+ \frac{x}{2}$
$3$ $<$ $6 + \frac{x}{2}$ $- 6$
$- 3$ $<$ $\frac{x}{2}$ $\cdot 2$
$- 6$ $<$ $x$
$x \in] - 6; \infty [$
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$3 (x - 3) \geq 5 (1 - \frac{x}{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$3 (x - 3)$ $\geq$ $5 (1 - \frac{x}{2})$
↓
Multipliziere aus
$3 x - 9$ $\geq$ $5 - \frac{5}{2} x$ $+ 9 + \frac{5}{2} x$
↓
Fasse zusammen
$\frac{11}{2} x$ $\geq$ $14$ $\cdot \frac{2}{11}$
↓
Multipliziere
$x$ $\geq$ $\frac{28}{11}$
Die Ungeichung ist für $x \geq \frac{28}{11} \approx 2,55$ erfüllt, die Lösungsmenge ist also $[\frac{28}{11}; \infty [$ .
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\frac{1}{2} (x - 5) > 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{1}{2} (x - 5)$ $>$ $0$
↓
Klammer ausmultiplizieren.
$\frac{1}{2} x - 2,5$ $>$ $0$ $+ 2,5$
$\frac{1}{2} x$ $>$ $2,5$
$\frac{1}{2} x$ $>$ $2,5$ $\cdot 2$
↓
Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$ $>$ $5$
$x \in] 5; \infty [$
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$2 x + \frac{5}{2} < - (3 + 4 x) - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$2 x + \frac{5}{2}$ $<$ $- (3 + 4 x) - 3$
↓
Klammer auflösen.
$2 x + 2,5$ $<$ $- 3 - 4 x - 3$
↓
Zusammenfassen.
$2 x$ $<$ $- 8,5 - 4 x$ $+ 4 x$
$6 x$ $<$ $- 8,5$ $: 6$
$x$ $<$ $- \frac{17}{12}$
$x \in] - \infty; - \frac{17}{12} [$
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\frac{x}{5} + 3 \geq \frac{x}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{x}{5} + 3$ $\geq$ $\frac{x}{2}$
↓
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 x}{10} + 3$ $\geq$ $\frac{5 x}{10}$ $- \frac{2 x}{10}$
$3$ $\geq$ $\frac{3 x}{10}$ $\cdot 10$
$30$ $\geq$ $3 x$ $: 3$
$10$ $\geq$ $x$
$x \in] - \infty; 10]$
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$- 3 < 2 (x - 2) < 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$- 3 < 2 (x - 2) < 5$
Klammer ausmultiplizieren.
$- 3 < 2 x - 4 < 5$
Addiere 4.
$1 < 2 x < 9$
Dividiere durch 2.
$\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}$
$x \in] \frac{1}{2}; \frac{9}{2} [$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{5}{8} \cdot (x - 0,4) - 2$	$<$	$x - 10$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,625 \cdot (x - 0,4) - 2$	$<$	$x - 10$	$+ 2$
$0,625 \cdot (x - 0,4)$	$<$	$x - 8$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$0,625 x - 0,25$	$<$	$x - 8$	$+ 8$
$0,625 x + 7,75$	$<$	$x$	$- 0,625$
$7,75$	$<$	$0,375 x$	$: 0,375$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$>$	$20,67$

$\frac{3}{7} \cdot (2 - 3 x) - 1$	$\geq$	$\frac{1}{2} \cdot (3 x - 5)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\frac{6}{7} - \frac{9}{7} x - 1$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$
	↓	Umwandeln von 1 in einen Scheinbruch
$\frac{6}{7} - \frac{9}{7} x - \frac{7}{7}$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$
	↓	Linke Seite zusammenfassen
$- \frac{1}{7} - \frac{9}{7} x$	$\geq$	$\frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$	$\cdot HN 14$
	↓	Mit dem Hauptnenner $14$ multiplizieren.
$- 2 - 18 x$	$\geq$	$21 x - 35$	$+ 35$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$33 - 18 x$	$\geq$	$21 x$	$+ 18 x$
$33$	$\geq$	$39 x$	$: 39$
$\frac{33}{39}$	$\geq$	$x$
	↓	Kürzen des Bruches auf der linken Seite.
$\frac{11}{13}$	$\geq$	$x$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$\leq$	$\frac{11}{13}$

$\frac{8 - 3 x}{5}$	$\geq$	$5 - 2 x$	$\cdot 5$
	↓	Weil auf der rechten Seite der Ungleichung ein Term steht, muss eine Klammer gesetzt werden
$8 - 3 x$	$\geq$	$5 \cdot (5 - 2 x)$
	↓	Klammer auflösen
$8 - 3 x$	$\geq$	$25 - 10 x$	$+ 10 x$
$8 + 7 x$	$\geq$	$25$	$- 8$
$7 x$	$\geq$	$17$	$: 7$
$x$	$\geq$	$\frac{17}{7}$

$\frac{x - 0,3}{5}$	$\leq$	$\frac{7 - x}{2}$	$\cdot 2$
	↓	Weil im Zähler der linken Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\frac{2 \cdot (x - 0,3)}{5}$	$\leq$	$7 - x$	$\cdot 5$
	↓	Weil im Zähler der rechten Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$2 \cdot (x - 0,3)$	$\leq$	$5 \cdot (7 - x)$
	↓	Klammern auflösen
$2 x - 0,6$	$\leq$	$35 - 5 x$	$+ 5 x$
$7 x - 0,6$	$\leq$	$35$	$+ 0,6$
$7 x$	$\leq$	$35,6$	$: 7$
	↓	Runde den Quotienten auf der rechten Seite auf zwei Nachkommastellen
$x$	$\leq$	$5,09$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2 - x}{4}$	$>$	$\frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$
	↓	Multipliziere die Brüche der linken Seite
$\frac{3 \cdot (2 - x)}{20}$	$>$	$\frac{0,4 \cdot (x - 1)}{15}$	$\cdot 15$
$\frac{45 \cdot (2 - x)}{20}$	$>$	$0,4 \cdot (x - 1)$
	↓	Bruch der linken Seite kürzen
$\frac{9 \cdot (2 - x)}{4}$	$>$	$0,4 \cdot (x - 1)$	$\cdot 4$
$9 \cdot (2 - x)$	$>$	$1,6 \cdot (x - 1)$
	↓	Klammern auflösen
$18 - 9 x$	$>$	$1,6 x - 1,6$	$+ 1,6$
$19,6 - 9 x$	$>$	$1,6 x$	$+ 9 x$
$19,6$	$>$	$10,6 x$	$: 10,6$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$<$	$1,849$

$(x - 200) \cdot 0,85$	$>$	$(x - 300) \cdot 0,9$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$0,85 x - 170$	$>$	$0,9 x - 270$	$+ 270$
$0,85 x + 100$	$>$	$0,9 x$	$- 0,85 x$
$100$	$>$	$0,05 x$	$: 0,05$
$2000$	$>$	$x$

$0,85 x + 24$	$<$	$1,45 x$	$- 0,85 x$
$24$	$<$	$0,6 x$	$: 0,6$
$40$	$<$	$x$

$\frac{1}{2} - 3 x$	$>$	$x + 2,75$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$0,5 - 3 x$	$>$	$x + 2,75$	$+ 3 x$
$0,5$	$>$	$4 x + 2,75$	$- 2,75$
$- 2,25$	$>$	$4 x$	$: 4$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$x$	$<$	$- 0,5625$

$\frac{12 - 5 x}{7}$	$\leq$	$3$	$\cdot 7$
$12 - 5 x$	$\leq$	$21$	$- 12$
$- 5 x$	$\leq$	$9$	$: (- 5)$
	↓	Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$x$	$\geq$	$- \frac{9}{5}$

$\frac{1}{3} x - 5$	$\leq$	$\frac{1}{4} x + 3$	$+ 5$
$\frac{1}{3} x$	$\leq$	$\frac{1}{4} x + 8$	$- \frac{1}{4} x$
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{4} x$	$\leq$	$8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{4}{12} x - \frac{3}{12} x$	$\leq$	$8$
	↓	Zusammenfassen
$\frac{1}{12} x$	$\leq$	$8$	$\cdot \frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$	$\leq$	$96$

$\frac{2 - x}{3} + 5$	$\geq$	$\frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 (2 - x)}{6} + 5$	$\geq$	$\frac{3 x}{6}$	$\cdot 6$
$2 (2 - x) + 5 \cdot 6$	$\geq$	$3 x$
$2 (2 - x) + 30$	$\geq$	$3 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$4 - 2 x + 30$	$\geq$	$3 x$	$+ 2 x$
$34$	$\geq$	$5 x$	$: 5$
$\frac{34}{5}$	$\geq$	$x$

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$	$<$	$6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$- \frac{x}{2} + 3$	$<$	$6$	$+ \frac{x}{2}$
$3$	$<$	$6 + \frac{x}{2}$	$- 6$
$- 3$	$<$	$\frac{x}{2}$	$\cdot 2$
$- 6$	$<$	$x$

$3 (x - 3)$	$\geq$	$5 (1 - \frac{x}{2})$
	↓	Multipliziere aus
$3 x - 9$	$\geq$	$5 - \frac{5}{2} x$	$+ 9 + \frac{5}{2} x$
	↓	Fasse zusammen
$\frac{11}{2} x$	$\geq$	$14$	$\cdot \frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$x$	$\geq$	$\frac{28}{11}$

$\frac{1}{2} (x - 5)$	$>$	$0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\frac{1}{2} x - 2,5$	$>$	$0$	$+ 2,5$
$\frac{1}{2} x$	$>$	$2,5$
$\frac{1}{2} x$	$>$	$2,5$	$\cdot 2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$	$>$	$5$

$2 x + \frac{5}{2}$	$<$	$- (3 + 4 x) - 3$
	↓	Klammer auflösen.
$2 x + 2,5$	$<$	$- 3 - 4 x - 3$
	↓	Zusammenfassen.
$2 x$	$<$	$- 8,5 - 4 x$	$+ 4 x$
$6 x$	$<$	$- 8,5$	$: 6$
$x$	$<$	$- \frac{17}{12}$

$\frac{x}{5} + 3$	$\geq$	$\frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 x}{10} + 3$	$\geq$	$\frac{5 x}{10}$	$- \frac{2 x}{10}$
$3$	$\geq$	$\frac{3 x}{10}$	$\cdot 10$
$30$	$\geq$	$3 x$	$: 3$
$10$	$\geq$	$x$

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Versicherung B

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