Aufgaben zu linearen Ungleichungen

Löse die folgenden Ungleichungen.

$\frac{1}{3} x - 5 \leq \frac{1}{4} x + 3$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\frac{2 - x}{3} + 5 \geq \frac{x}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Ungleichungen
$\frac{2 - x}{3} + 5$ $\geq$ $\frac{x}{2}$
↓
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 (2 - x)}{6} + 5$ $\geq$ $\frac{3 x}{6}$ $\cdot 6$
$2 (2 - x) + 5 \cdot 6$ $\geq$ $3 x$
$2 (2 - x) + 30$ $\geq$ $3 x$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$4 - 2 x + 30$ $\geq$ $3 x$ $+ 2 x$
$34$ $\geq$ $5 x$ $: 5$
$\frac{34}{5}$ $\geq$ $x$
$x \in] - \infty; \frac{34}{5}]$
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$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6) < 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$ $<$ $6$
↓
Klammer ausmultiplizieren.
$- \frac{x}{2} + 3$ $<$ $6$ $+ \frac{x}{2}$
$3$ $<$ $6 + \frac{x}{2}$ $- 6$
$- 3$ $<$ $\frac{x}{2}$ $\cdot 2$
$- 6$ $<$ $x$
$x \in] - 6; \infty [$
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$3 (x - 3) \geq 5 (1 - \frac{x}{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$3 (x - 3)$ $\geq$ $5 (1 - \frac{x}{2})$
↓
Multipliziere aus
$3 x - 9$ $\geq$ $5 - \frac{5}{2} x$ $+ 9 + \frac{5}{2} x$
↓
Fasse zusammen
$\frac{11}{2} x$ $\geq$ $14$ $\cdot \frac{2}{11}$
↓
Multipliziere
$x$ $\geq$ $\frac{28}{11}$
Die Ungeichung ist für $x \geq \frac{28}{11} \approx 2,55$ erfüllt, die Lösungsmenge ist also $[\frac{28}{11}; \infty [$ .
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$\frac{1}{2} (x - 5) > 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{1}{2} (x - 5)$ $>$ $0$
↓
Klammer ausmultiplizieren.
$\frac{1}{2} x - 2,5$ $>$ $0$ $+ 2,5$
$\frac{1}{2} x$ $>$ $2,5$
$\frac{1}{2} x$ $>$ $2,5$ $\cdot 2$
↓
Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$ $>$ $5$
$x \in] 5; \infty [$
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$2 x + \frac{5}{2} < - (3 + 4 x) - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$2 x + \frac{5}{2}$ $<$ $- (3 + 4 x) - 3$
↓
Klammer auflösen.
$2 x + 2,5$ $<$ $- 3 - 4 x - 3$
↓
Zusammenfassen.
$2 x$ $<$ $- 8,5 - 4 x$ $+ 4 x$
$6 x$ $<$ $- 8,5$ $: 6$
$x$ $<$ $- \frac{17}{12}$
$x \in] - \infty; - \frac{17}{12} [$
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$\frac{x}{5} + 3 \geq \frac{x}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{x}{5} + 3$ $\geq$ $\frac{x}{2}$
↓
Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 x}{10} + 3$ $\geq$ $\frac{5 x}{10}$ $- \frac{2 x}{10}$
$3$ $\geq$ $\frac{3 x}{10}$ $\cdot 10$
$30$ $\geq$ $3 x$ $: 3$
$10$ $\geq$ $x$
$x \in] - \infty; 10]$
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$- 3 < 2 (x - 2) < 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$- 3 < 2 (x - 2) < 5$
Klammer ausmultiplizieren.
$- 3 < 2 x - 4 < 5$
Addiere 4.
$1 < 2 x < 9$
Dividiere durch 2.
$\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}$
$x \in] \frac{1}{2}; \frac{9}{2} [$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1}{3} x - 5$	$\leq$	$\frac{1}{4} x + 3$	$+ 5$
$\frac{1}{3} x$	$\leq$	$\frac{1}{4} x + 8$	$- \frac{1}{4} x$
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{4} x$	$\leq$	$8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{4}{12} x - \frac{3}{12} x$	$\leq$	$8$
	↓	Zusammenfassen
$\frac{1}{12} x$	$\leq$	$8$	$\cdot \frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$	$\leq$	$96$

$\frac{2 - x}{3} + 5$	$\geq$	$\frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 (2 - x)}{6} + 5$	$\geq$	$\frac{3 x}{6}$	$\cdot 6$
$2 (2 - x) + 5 \cdot 6$	$\geq$	$3 x$
$2 (2 - x) + 30$	$\geq$	$3 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$4 - 2 x + 30$	$\geq$	$3 x$	$+ 2 x$
$34$	$\geq$	$5 x$	$: 5$
$\frac{34}{5}$	$\geq$	$x$

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$	$<$	$6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$- \frac{x}{2} + 3$	$<$	$6$	$+ \frac{x}{2}$
$3$	$<$	$6 + \frac{x}{2}$	$- 6$
$- 3$	$<$	$\frac{x}{2}$	$\cdot 2$
$- 6$	$<$	$x$

$3 (x - 3)$	$\geq$	$5 (1 - \frac{x}{2})$
	↓	Multipliziere aus
$3 x - 9$	$\geq$	$5 - \frac{5}{2} x$	$+ 9 + \frac{5}{2} x$
	↓	Fasse zusammen
$\frac{11}{2} x$	$\geq$	$14$	$\cdot \frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$x$	$\geq$	$\frac{28}{11}$

$\frac{1}{2} (x - 5)$	$>$	$0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\frac{1}{2} x - 2,5$	$>$	$0$	$+ 2,5$
$\frac{1}{2} x$	$>$	$2,5$
$\frac{1}{2} x$	$>$	$2,5$	$\cdot 2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$x$	$>$	$5$

$2 x + \frac{5}{2}$	$<$	$- (3 + 4 x) - 3$
	↓	Klammer auflösen.
$2 x + 2,5$	$<$	$- 3 - 4 x - 3$
	↓	Zusammenfassen.
$2 x$	$<$	$- 8,5 - 4 x$	$+ 4 x$
$6 x$	$<$	$- 8,5$	$: 6$
$x$	$<$	$- \frac{17}{12}$

$\frac{x}{5} + 3$	$\geq$	$\frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\frac{2 x}{10} + 3$	$\geq$	$\frac{5 x}{10}$	$- \frac{2 x}{10}$
$3$	$\geq$	$\frac{3 x}{10}$	$\cdot 10$
$30$	$\geq$	$3 x$	$: 3$
$10$	$\geq$	$x$