Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ .
Es gilt: $A B = 95 cm; A C = 150 cm; B C = 75 cm .$
Runden Sie im Folgenden auf Ganze.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Maß des Winkels $A C B$ gilt:
$∢ A C B = 32^{\circ} .$

Um das Maß des Winkels $φ = ∢ A C B$ zu berechnen benötigst du den Kosinussatz. Mit dem Kosinussatz erhältst du die Gleichung:
$\begin{array}{c} {A B}^{2} & = & {A C}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos (φ) \\ 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos (φ) & = & {A C}^{2} + {B C}^{2} - {A B}^{2} \\ 22500 \cdot \cos (φ) & = & 22500 + 5625 - 9025 \\ \cos (φ) & = & \frac{22500 + 5625 - 9025}{22500} \\ \cos (φ) & = & 0,8489 \end{array}$
Wenn du nun auf diese Gleichung die Umkehrfunktion des Kosinus anwendest, erhältst du: $φ = \cos^{- 1} (0,8489) = 31,9 ° \approx 32 °$ .

Berechnen Sie die Länge der Diagonale $[B D]$ und den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $A B C D$ .
$[$ Ergebnis: $B D = 79 cm$ $]$

In dieser Teilaufgabe benötigst du Wissen über den Sinus und über Drachenvierecke. Im Dreieck $M B C$ ist $B C$ die Hypotenuse und $B M$ die Gegenkathete vom Winkel $φ$ aus gesehen.
Es gilt also:
$\begin{array}{c} \sin (φ) & = & \frac{B M}{B C} \\ B C \cdot \sin (32 °) & = & B M \\ 75 cm \cdot 0,5299 & = & B M \\ 39,74 cm & = & B M \end{array}$
Die Länge der Strecke $B M$ ist also $39,74$ $cm$ . Die Strecke $B D$ ist doppelt so lang wie $B M$ , als Ergebnis erhältst du also:
$B D = 2 \cdot 39,74 cm = 79,48 cm \approx 79 cm .$
Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:
$\begin{array}{c} A & = & 0,5 \cdot B D \cdot A C \\ A & = & 0,5 \cdot 79 cm \cdot 150 cm \\ A & = & 5925 {cm}^{2} \end{array}$

Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von $100 cm$ gibt, beschließt Pia, für die Diagonale $[A C]$ diese Länge zu verwenden. Die Diagonale $[B D]$ bleibt unverändert.
Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt dadurch verringert.
$25 %$
$33 %$
$50 %$
$67 %$

Für diese Teilaufgabe benötigst du die Formeln der Prozentrechnung.
Der neue Flächeninhalt ist: $A_{neu} = 0,5 \cdot 79 cm \cdot 100 cm = 3950 {cm}^{2}$ .
Die Fläche, um die sich der Flächeninhalt verringert, beträgt also:
$A_{alt} - A_{neu} = (5925 - 3950) {cm}^{2} = 1975 {cm}^{2}$
Dies ist gleichzeitig der Prozentwert $W$ in der Prozentrechnung. Als den Grundwert $G$ betrachtest du den alten Flächeninhalt $A_{alt} = 5925 {cm}^{2}$ . Den Prozentsatz kannst du jetzt mit der Formel berechnen:
$p = \frac{W}{G} = \frac{1975 {cm}^{2}}{5925 {cm}^{2}} = \frac{1}{3} \approx 33 %$
Die Fläche wird also um $33 %$ kleiner.
Alternative: Betrachtung des Verhältnisses
Du kannst auch das Verhältnis der Flächeninhalte betrachten:
$\frac{A_{neu}}{A_{alt}} = \frac{3950 {cm}^{2}}{5925 {cm}^{2}} = \frac{2}{3}$
Durch Umstellen dieser Gleichung erhältst du: $A_{neu} = \frac{2}{3} \cdot A_{alt}$ , daran kannst du sehen, dass der neue Flächeninhalt um $\frac{1}{3} \approx 33 %$ kleiner ist, als der alte.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Parabeln $p_{1}$ mit der Gleichung $y = 0,4 x^{2} - 1,8 x - 4$ und $p_{2}$ mit der Gleichung $y = - 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Punkte $B_{n} (x | 0,4 x^{2} - 1,8 x - 4)$ auf $p_{1}$ und Punkte $C_{n} (x | - 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1)$ auf $p_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit $A (0 | 1)$ für $x \in] 0; 6,74 [$ Eckpunkte von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = 3$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
$B_{n} C_{n} (x) = (- 0,6 x^{2} + 3,3 x + 5)$ LE.

Graphischer Ansatz
Zuerst kannst du das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ einzeichnen. Für den Punkt $C_{1}$ suchst du dabei auf der $x$ -Achse den Wert $x = 3$ und gehst dann senkrecht nach oben bis zur Parabel $p_{2}$ , dort kannst du ihn dann einzeichnen. Für $B_{1}$ machst du das Gleiche, gehst aber nach unten bis zur Parabel $p_{1}$ .
Rechnerischer Ansatz
Du kannst die Koordinaten von $B_{1}$ und $C_{1}$ auch dadurch bestimmen, dass du den Wert $x = 3$ in die Formeln aus der Angabe einsetzt:
$\begin{array}{c} B_{n} (x | 0,4 x^{2} - 1,8 x - 4) & \Rightarrow & B_{1} (3 | 0,4 \cdot 3^{2} - 1,8 \cdot 3 - 4) \\ C_{n} (x | - 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1) & \Rightarrow & C_{1} (3 | - 0,2 \cdot 3^{2} + 1,5 \cdot 3 + 1) \end{array}$
So erhältst du die Punkte $B_{1} (3 | - 5,8)$ und $C_{1} (3 | 3,7)$ , die du jetzt ganz leicht einzeichnen kannst.
Nun geht es noch darum die Länge der Strecke $B_{n} C_{n} (x)$ zu bestimmen. Dazu bildest du die Differenz der Funktionsterme der beiden Parabeln, und zwar $p_{2} - p_{1}$ , weil $p_{2}$ in diesem Bereich oberhalb von $p_{1}$ verläuft:
$B_{n} C_{n} (x)$ $=$ $[\overset{y-Wert von C_{n}}{\overset{⏞}{- 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1}} - \overset{y-Wert von B_{n}}{\overset{⏞}{(0,4 x^{2} - 1,8 x - 4)}}] LE$
$=$ $(- 0,6 x^{2} + 3,3 x + 5) LE$

Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ kein Dreieck $A B_{0} C_{0}$ gibt, dessen Seite $[B_{0} C_{0}]$ eine Länge von $10$ LE besitzt.

Hier solltest du als Erstes versuchen den Wert für $x$ zu bestimmen, so dass die Strecke die Länge $10$ LE besitzt. Setze dazu den Wert $10$ mit der Formel für die Länge der Strecke aus Teilaufgabe a gleich:
$\begin{array}{c} 10 & = & - 0,6 x^{2} + 3,3 x + 5 \\ 0 & = & - 0,6 x^{2} + 3,3 x - 5 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Dafür brauchst du auch die Diskriminante der Gleichung:
$D = {3,3}^{2} - 4 \cdot (- 0,6) \cdot (- 5) = - 1,11$
Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Deshalb kannst du auch kein Dreieck $A B_{n} C_{n}$ finden, bei dem die Seite $[B_{n} C_{n}]$ die Länge $10$ LE besitzt.
Im folgenden Applet kannst du die Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ frei bewegen und dir ansehen, wie sich die Länge von $[B_{n} C_{n}]$ verändert:
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Die Mittelpunkte $M_{n}$ der Seiten $[B_{n} C_{n}]$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie die Punkte $B_{n}$ . Zeigen Sie, dass für die $y$ -Koordinate $y_{M}$ der Punkte $M_{n}$ gilt:
$y_{M} = 0,1 x^{2} - 0,15 x - 1,5.$

Die Punkte $M_{n}$ sind Mittelpunkte der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ , ihre Koordinaten kannst du als den Mittelwert der Koordinaten von $B_{n}$ und $C_{n}$ berechnen. Es gilt also: $x_{M_{n}} = \frac{1}{2} (x_{C_{n}} + x_{B_{n}})$ und für die $y$ -Koordinaten:
$\begin{array}{c} y_{M_{n}} = \frac{1}{2} \cdot (y_{C_{n}} + y_{B_{n}}) = \frac{1}{2} (- 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1 + 0,4 x^{2} - 1,8 x - 4) \\ y_{M_{n}} = \frac{1}{2} \cdot (0,2 x^{2} - 0,3 x - 3) = 0,1 x^{2} - 0,15 x - 1,5 \end{array}$

Das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[B_{2} C_{2}]$ .
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $M_{2}$ .

Die Basis des Dreiecks ist die Strecke $[B_{2} C_{2}]$ , da $B_{2}$ und $C_{2}$ dieselbe Abszisse haben und das Dreieck gleichschenklig ist, haben der Punkt $A$ und der Punkt $M_{n}$ die selbe y-Koordinate. Es gilt also:
$1 = y_{M_{n}} = 0,1 x^{2} - 0,15 x - 1,5 0 = 0,1 x^{2} - 0,15 x - 2,5$
Diese Gleichung ist wieder mit der Mitternachtsformel lösbar:
$x_{1,2} = \frac{0,15 \pm \sqrt{{0,15}^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot (- 2,5)}}{2 \cdot 0,1}$
Du erhältst die Werte $x_{1} = 5,81$ und $x_{2} = - 4,31$ . In der Angabe wurde geklärt, dass $x$ nur positive Werte annehmen soll, deshalb ist die $x$ -Koordinate des Punkts $M_{n}$ also $x_{M_{n}} = 5,81$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt $A B C D E F G H$ eines Körpers mit der Rotationsachse $M S$ . Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:
$A M = G O = F N = 21 cm; A M | | G O | | F N;$
$F G = 5 cm; F G | | E D$
$∢ A S M = 16^{\circ}; M N = 45 cm$
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
Berechnen Sie die Längen der Strecken $[M S]$ und $[H C]$ .
$[$ Ergebnisse: $M S = 73,2 cm; H C = 19,0 cm$ $]$

Zuerst berechnest du $M S$ , dazu verwendest du den Tangens. Der Winkel $φ = ∢ A S M$ liegt im Dreieck $A M S$ . Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse $A S$ . Von $φ$ aus gesehen ist $M S$ die Ankathete und $A M$ die Gegenkathete. Es gilt also die Gleichung:
$\tan (φ) = \frac{\green Gegenkathete}{\orange Ankathete} = \frac{A M}{M S}$
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du $M S = \frac{A M}{\tan (φ)}$ . Nun kannst du die Werte für $A M$ und $φ$ einsetzen. Die Lösung ist dann:
$M S = \frac{21 cm}{\tan (16 °)} \approx 73,2 cm$
Die Strecke $M S$ hat also die Länge $73,2 cm$ .
Nun kannst du noch die Länge von $H C$ berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.
Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:
$\frac{\green M S}{\blue O S} = \frac{\orange A M}{\orange H O}$
$H O$ ist halb so lang wie $H C$ und den Wert von $H O$ kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:
Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du $H O = \frac{A M \cdot O S}{M S}$ .
Den Wert $A M = 21 cm$ kennst du bereits aus der Angabe, $M S = 73,2 cm$ hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für $O S$ , dafür kannst du die Strecke $M S$ in zwei Teilstücke aufteilen: $M S = O S + M O$ .
Die Strecke $M O$ ist $5 cm$ kürzer als $M N$ (wegen $N O = F G = 5 cm$ ), also gilt: $M O = 40 cm$ , damit hast du also auch $O S = 73,2 cm - 40 cm = 33,2 cm$ .
Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:
$H O = \frac{21 cm \cdot 33,2 cm}{73,2 cm} = 9,5 cm$
Wenn du diesen Wert noch mit $2$ multiplizierst hast du das Ergebnis $H C = 2 \cdot H O = 19 cm .$

Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen $V$ des Rotationskörpers.

Das Volumen $V$ des Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen $V_{K}$ des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes $A B C H$ entsteht, und dem Volumen $V_{Z}$ des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks $G D E F$ entsteht.
Zylinder
Der Radius des Zylinders ist $G O = 21 cm$ und seine Höhe beträgt $F G = 5 cm$ . Damit kannst du sein Volumen berechnen:
$V_{Zylinder} = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot (21 cm)^{2} \cdot 5 cm = 6927,2 {cm}^{3}$
Kegelstumpf
Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen, kannst du das Volumen $V_{kleiner Kegel}$ des kleinen Kegels (Rotation von $H C S$ ) vom Volumen $V_{gesamter Kegel}$ des gesamten Kegels (Rotation von $A B S$ ) abziehen.
Der kleine Kegel hat den Radius $H O = 9,5 cm$ und die Höhe $O S = 33,2 cm$ .
Der gesamte Kegel hat den Radius $A M = 21 cm$ und die Höhe $M S = 73,2 cm$ .
Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:
$\begin{array}{lll} V_{K} & = & V_{gesamter Kegel} - V_{kleiner Kegel} \\ = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(21 cm)}^{2} \cdot 73,2 cm - \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(9,5 cm)}^{2} \cdot 33,2 cm \\ = & 33804,8 {cm}^{3} - 3137,7 {cm}^{3} = 30667,1 {cm}^{3} \end{array}$
Rotationskörper
Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumina addierst:
$V = V_{K} + V_{Z} = 30667,1 {cm}^{3} + 6927,2 {cm}^{3} = 37594,3 {cm}^{3} .$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$B_{n} C_{n} (x)$	$=$	$[\overset{y-Wert von C_{n}}{\overset{⏞}{- 0,2 x^{2} + 1,5 x + 1}} - \overset{y-Wert von B_{n}}{\overset{⏞}{(0,4 x^{2} - 1,8 x - 4)}}] LE$
	$=$	$(- 0,6 x^{2} + 3,3 x + 5) LE$

Teil A

Alternative: Betrachtung des Verhältnisses

Graphischer Ansatz

Rechnerischer Ansatz

Zylinder

Kegelstumpf

Rotationskörper