Teil A

Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt $A B C D E F G H$ eines Körpers mit der Rotationsachse $M S$ . Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:

$A M = G O = F N = 21 cm; A M | | G O | | F N;$

$F G = 5 cm; F G | | E D$

$∢ A S M = 16^{\circ}; M N = 45 cm$

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Berechnen Sie die Längen der Strecken $[M S]$ und $[H C]$ .
$[$ Ergebnisse: $M S = 73,2 cm; H C = 19,0 cm$ $]$

Zuerst berechnest du $M S$ , dazu verwendest du den Tangens. Der Winkel $φ = ∢ A S M$ liegt im Dreieck $A M S$ . Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse $A S$ . Von $φ$ aus gesehen ist $M S$ die Ankathete und $A M$ die Gegenkathete. Es gilt also die Gleichung:
$\tan (φ) = \frac{\green Gegenkathete}{\orange Ankathete} = \frac{A M}{M S}$
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du $M S = \frac{A M}{\tan (φ)}$ . Nun kannst du die Werte für $A M$ und $φ$ einsetzen. Die Lösung ist dann:
$M S = \frac{21 cm}{\tan (16 °)} \approx 73,2 cm$
Die Strecke $M S$ hat also die Länge $73,2 cm$ .
Nun kannst du noch die Länge von $H C$ berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.
Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:
$\frac{\green M S}{\blue O S} = \frac{\orange A M}{\orange H O}$
$H O$ ist halb so lang wie $H C$ und den Wert von $H O$ kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:
Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du $H O = \frac{A M \cdot O S}{M S}$ .
Den Wert $A M = 21 cm$ kennst du bereits aus der Angabe, $M S = 73,2 cm$ hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für $O S$ , dafür kannst du die Strecke $M S$ in zwei Teilstücke aufteilen: $M S = O S + M O$ .
Die Strecke $M O$ ist $5 cm$ kürzer als $M N$ (wegen $N O = F G = 5 cm$ ), also gilt: $M O = 40 cm$ , damit hast du also auch $O S = 73,2 cm - 40 cm = 33,2 cm$ .
Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:
$H O = \frac{21 cm \cdot 33,2 cm}{73,2 cm} = 9,5 cm$
Wenn du diesen Wert noch mit $2$ multiplizierst hast du das Ergebnis $H C = 2 \cdot H O = 19 cm .$
Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen $V$ des Rotationskörpers.

Das Volumen $V$ des Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen $V_{K}$ des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes $A B C H$ entsteht, und dem Volumen $V_{Z}$ des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks $G D E F$ entsteht.
Zylinder
Der Radius des Zylinders ist $G O = 21 cm$ und seine Höhe beträgt $F G = 5 cm$ . Damit kannst du sein Volumen berechnen:
$V_{Zylinder} = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot (21 cm)^{2} \cdot 5 cm = 6927,2 {cm}^{3}$
Kegelstumpf
Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen, kannst du das Volumen $V_{kleiner Kegel}$ des kleinen Kegels (Rotation von $H C S$ ) vom Volumen $V_{gesamter Kegel}$ des gesamten Kegels (Rotation von $A B S$ ) abziehen.
Der kleine Kegel hat den Radius $H O = 9,5 cm$ und die Höhe $O S = 33,2 cm$ .
Der gesamte Kegel hat den Radius $A M = 21 cm$ und die Höhe $M S = 73,2 cm$ .
Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:
$\begin{array}{lll} V_{K} & = & V_{gesamter Kegel} - V_{kleiner Kegel} \\ = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(21 cm)}^{2} \cdot 73,2 cm - \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(9,5 cm)}^{2} \cdot 33,2 cm \\ = & 33804,8 {cm}^{3} - 3137,7 {cm}^{3} = 30667,1 {cm}^{3} \end{array}$
Rotationskörper
Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumina addierst:
$V = V_{K} + V_{Z} = 30667,1 {cm}^{3} + 6927,2 {cm}^{3} = 37594,3 {cm}^{3} .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

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