Teil A

Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ .

Es gilt: $A B = 95 cm; A C = 150 cm; B C = 75 cm .$

Runden Sie im Folgenden auf Ganze.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Maß des Winkels $A C B$ gilt:
$∢ A C B = 32^{\circ} .$

Um das Maß des Winkels $φ = ∢ A C B$ zu berechnen benötigst du den Kosinussatz. Mit dem Kosinussatz erhältst du die Gleichung:
$\begin{array}{c} {A B}^{2} & = & {A C}^{2} + {B C}^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos (φ) \\ 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos (φ) & = & {A C}^{2} + {B C}^{2} - {A B}^{2} \\ 22500 \cdot \cos (φ) & = & 22500 + 5625 - 9025 \\ \cos (φ) & = & \frac{22500 + 5625 - 9025}{22500} \\ \cos (φ) & = & 0,8489 \end{array}$
Wenn du nun auf diese Gleichung die Umkehrfunktion des Kosinus anwendest, erhältst du: $φ = \cos^{- 1} (0,8489) = 31,9 ° \approx 32 °$ .
Berechnen Sie die Länge der Diagonale $[B D]$ und den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $A B C D$ .
$[$ Ergebnis: $B D = 79 cm$ $]$

In dieser Teilaufgabe benötigst du Wissen über den Sinus und über Drachenvierecke. Im Dreieck $M B C$ ist $B C$ die Hypotenuse und $B M$ die Gegenkathete vom Winkel $φ$ aus gesehen.
Es gilt also:
$\begin{array}{c} \sin (φ) & = & \frac{B M}{B C} \\ B C \cdot \sin (32 °) & = & B M \\ 75 cm \cdot 0,5299 & = & B M \\ 39,74 cm & = & B M \end{array}$
Die Länge der Strecke $B M$ ist also $39,74$ $cm$ . Die Strecke $B D$ ist doppelt so lang wie $B M$ , als Ergebnis erhältst du also:
$B D = 2 \cdot 39,74 cm = 79,48 cm \approx 79 cm .$
Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks gilt:
$\begin{array}{c} A & = & 0,5 \cdot B D \cdot A C \\ A & = & 0,5 \cdot 79 cm \cdot 150 cm \\ A & = & 5925 {cm}^{2} \end{array}$
Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von $100 cm$ gibt, beschließt Pia, für die Diagonale $[A C]$ diese Länge zu verwenden. Die Diagonale $[B D]$ bleibt unverändert.
Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt dadurch verringert.
- $25 %$
- $33 %$
- $50 %$
- $67 %$
Für diese Teilaufgabe benötigst du die Formeln der Prozentrechnung.
Der neue Flächeninhalt ist: $A_{neu} = 0,5 \cdot 79 cm \cdot 100 cm = 3950 {cm}^{2}$ .
Die Fläche, um die sich der Flächeninhalt verringert, beträgt also:
$A_{alt} - A_{neu} = (5925 - 3950) {cm}^{2} = 1975 {cm}^{2}$
Dies ist gleichzeitig der Prozentwert $W$ in der Prozentrechnung. Als den Grundwert $G$ betrachtest du den alten Flächeninhalt $A_{alt} = 5925 {cm}^{2}$ . Den Prozentsatz kannst du jetzt mit der Formel berechnen:
$p = \frac{W}{G} = \frac{1975 {cm}^{2}}{5925 {cm}^{2}} = \frac{1}{3} \approx 33 %$
Die Fläche wird also um $33 %$ kleiner.
Alternative: Betrachtung des Verhältnisses
Du kannst auch das Verhältnis der Flächeninhalte betrachten:
$\frac{A_{neu}}{A_{alt}} = \frac{3950 {cm}^{2}}{5925 {cm}^{2}} = \frac{2}{3}$
Durch Umstellen dieser Gleichung erhältst du: $A_{neu} = \frac{2}{3} \cdot A_{alt}$ , daran kannst du sehen, dass der neue Flächeninhalt um $\frac{1}{3} \approx 33 %$ kleiner ist, als der alte.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Teil A

Alternative: Betrachtung des Verhältnisses