Aufgaben zum Skalarprodukt -3D

Hier findest du Aufgaben zum Skalarprodukt in 3D. Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen!

1
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 2 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:
$\begin{array}{rcl} \vec{u} \circ \vec{v} & = & (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 2 \end{array}) \\ = & 2 \cdot 6 + (- 1) \cdot 7 + 5 \cdot 2 \\ = & 12 + (- 7) + 10 \\ = & 15 \end{array}$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $15$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 8 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 8 \end{array}) = 12 \cdot 6 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot (- 8) = 72 - 32 = 40$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $40$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (- 2) \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 2 + 3 - 2 = 3$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $3$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) = 1 \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 3 + (- 4) \cdot (- 1) = - 3 - 6 + 4 = - 5$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $- 5$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 12 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 12 \end{array}) = 3 \cdot 8 + (- 4) \cdot 1 + 0 \cdot 12 = 24 - 4 = 20$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $20$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 3) = 3$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $3$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$ .

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}) = 5 \cdot 2 + 1 \cdot 8 + 9 \cdot (- 2) = 10 + 8 - 18 = 0$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $0$ . Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 1 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) = (- 5) \cdot 2 + 3 \cdot 8 + 9 \cdot (- 1) = - 10 + 24 - 9 = 5$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $5$ .

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 0,25 \\ 3 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:
$\vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 0,25 \\ 3 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array}) = 0,25 \cdot 4 + 3 \cdot (- \frac{2}{3}) + 5 \cdot 0,2 = 1 - 2 + 1 = 0$
Das Skalarprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist also $0$ . Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.
2
Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ Null ist.
Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} \circ \vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot v_{2} + 5 \cdot v_{3} = - v_{2} + 5 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = 5 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 5$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} \circ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 2 + 5 \cdot (- 1) + 1 \cdot 5 = 0 + (- 5) + 5 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 12 \cdot 0 + 3 \cdot v_{2} + 4 \cdot v_{3} = 3 v_{2} + 4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 4$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 12 + 4 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 = 0 + 12 - 12 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = (- 2) \cdot 0 + 3 \cdot v_{2} + 1 \cdot v_{3} = 3 v_{2} + v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{2} = - v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = 1$ und $v_{3} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (- 3) = 0 + 3 + (- 3) = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 1 \cdot 0 + (- 2) \cdot v_{2} + (- 4) \cdot v_{3} = - 2 v_{2} - 4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$2 v_{2} = - 4 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 4$ und $v_{3} = 2$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 1 + (- 4) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 4) = 0 + 8 + (- 8) = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{3} = 0$ annehmen, wegen $u_{3} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ 0 \end{array}) = 3 \cdot v_{1} + (- 4) \cdot v_{2} + 0 \cdot 0 = 3 v_{1} + (- 4) v_{2}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = 4 v_{2}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = - 4$ und $v_{2} = - 3$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = (- 4) \cdot 3 + (- 3) \cdot (- 4) + 0 \cdot 0 = (- 12) + 12 + 0 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen, wegen $u_{2} = 0$ . Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ 0 \\ v_{3} \end{array}) = 1 \cdot v_{1} + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot v_{3} = v_{1} - v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$3 v_{1} = v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{2} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) = 1 - 1 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{1} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 5 \cdot 0 + 1 \cdot v_{2} + 9 \cdot v_{3} = v_{2} + 9 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{2} = - 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{2} = - 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 9 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 0 \cdot 5 + (- 9) \cdot 1 + 1 \cdot 9 = 0 + (- 9) + 9 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 9 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 9 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 0 \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = (- 1) \cdot v_{1} + 3 \cdot 0 + 9 \cdot v_{3} = - v_{1} + 9 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{1} = 9 v_{3}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 9$ und $v_{3} = 1$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 9 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 9 = (- 9) + 0 + 9 = 0$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{5}{6} \\ 0.4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}$ , sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ $0$ ist.
Es lässt sich $v_{2} = 0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
$0 = \vec{u} ⊙ \vec{v} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{5}{6} \\ 0,4 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} v_{1} \\ 0 \\ v_{3} \end{array}) = 4 \cdot v_{1} + (- \frac{5}{6}) \cdot 0 + 0,4 \cdot v_{3} = 4 v_{1} + 0,4 v_{3}$
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
$v_{3} = - 10 v_{1}$
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_{1} = 1$ und $v_{3} = - 10$ . Du erhältst also:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 10 \end{array})$
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{v} ⊙ \vec{u} = v_{1} \cdot u_{1} + v_{2} \cdot u_{2} + v_{3} \cdot u_{3} = 1 \cdot 4 + (- \frac{5}{6}) \cdot 0 + (- 10) \cdot 0,4 = 4 + 0 - 4 = 0$
3
Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
$\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \cdot 4 + 3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 6) \\ = 0 - 6 + 6 \\ = 0 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 1 \cdot 4 + (- 1) \cdot (- 1) + 2 \cdot (- 2) \\ = 4 + 1 - 4 \\ = 1 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 1 \neq 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂̸ \vec{b}$
Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 8 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) = 20 + 4 - 24 = 0$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
$\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 10 \cdot 2 + (- 4) \cdot 5 + 2 \cdot 0 \\ = 20 - 20 - 0 \\ = 0 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 7 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 \\ = 0 - 3 + 2 \\ = - 1 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = - 1 \neq 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂̸ \vec{b}$
Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ - 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (- 5) \\ = 5 + 0 - 5 \\ = 0 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 8 \cdot (- 3) + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \\ = - 24 + 4 + 20 \\ = 0 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

$\vec{a} = (\begin{array}{c} 17 \\ 21 \\ 12 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 2.5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonalität von Vektoren
Berechne zur Überprüfung das Skalarprodukt, denn zwei Vektoren sind aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
$\begin{array}{l} \vec{a} ⊙ \vec{b} = 17 \cdot (- 3) + 21 \cdot 1 + 12 \cdot 2.5 \\ = - 51 + 21 + 30 \\ = 0 \end{array}$
$\vec{a} ⊙ \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⟂ \vec{b}$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

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