Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

Diskutiere folgende Funktionen

$f (x) = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich $0$ setzt.

$f (x) =$ $\frac{1}{e^{x} - 1}$

$e^{x} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$e^{x}$	$=$	$1$
	↓	Logarithmus anwenden.
$\ln e^{x}$	$=$	$\ln (1)$
$x \cdot \ln e$	$=$	$0$
$x$	$=$	$0$

Somit ist der maximale Definitionsbereich $D_{f} = ℝ ∖ {0}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen. Da im Zähler keine Elemente, die $x$ enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

Forme zuerst $f$ ein wenig um.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{e^{x} - 1}$
	↓	Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
	$=$	$(e^{x} - 1)^{- 1}$

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

$f^{'} (x)$	$=$	$- 1 \cdot {(e^{x} - 1)}^{- 2} \cdot e^{x}$
	↓	Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = - \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u^{'}$ ) und Nenner ( $v^{'}$ ).

$u^{'} = e^{x}, v^{'} = 2 \cdot (e^{x} - 1) \cdot e^{x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{e^{x} \cdot {(e^{x} - 1)}^{2} - e^{x} \cdot 2 \cdot (e^{x} - 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{4}}$
	↓	Kürze mit $(e^{x} - 1)$ .
	$=$	$\frac{e^{x} \cdot (e^{x} - 1) - e^{x} \cdot 2 \cdot e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{e^{2 x} - e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{- e^{2 x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Klammere $- e^{x}$ aus.
	$=$	$- \frac{e^{x} (e^{x} + 1)}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$

Extrema bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f^{'} (x) = - \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

$e^{x} = 0$

Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

Wendepunkte bestimmen

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f^{''} (x) = - \frac{e^{x} (e^{x} + 1)}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$

$e^{x} (e^{x} + 1) = 0$

Die $e$ -Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch $e^{x}$ vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt $f$ keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

$D_{f} = ℝ \ {0}$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss das Verhalten gegen 0 und $\pm \infty$ betrachtet werden.

Grenzwert gegen $0$ von links:

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\underset{\to 0^{-}}{\underset{⏟}{\underset{\to 1^{-}}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1}}} = - \infty$

Grenzwert gegen $0$ von rechts:

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{\underset{\to 1^{+}}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1}}} = + \infty$

Grenzwert gegen $- \infty$ :

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1} = - 1$

Grenzwert gegen $+ \infty$ :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1} = 0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

$f (x) = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Setze $- x$ für $x$ ein.

$f (- x)$	$=$	$\frac{1}{e^{- x} - 1}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{e^{x}} - 1}$

Da $f (- x)$ weder $f (x)$ noch $- f (x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

	$x < 0$	$x = 0$	$0 < x$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	-	\	-
$G_{f}$	$↓$	\	$↓$

$f (x) = e^{- x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die $e$ -Funktion besitzt auf $D_{f} = ℝ$ keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
$f (x) = e^{- x}$
Die Ableitung von $e^{- x}$ ist $e^{- x} \cdot (- 1)$ .
$f^{'} (x) = - e^{- x}$
2. Ableitung
$f^{'} (x) = - e^{- x}$
Die Ableitung von $- e^{- x}$ ist $- e^{- x} \cdot (- 1)$ .
$f^{''} (x) = e^{- x}$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da $f^{'} (x) = - e^{- x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da $f^{''} (x) = e^{- x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
$D_{f} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
Grenzwert gegen $+ \infty$ :
$\lim_{x \to \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{- x}}} = 0$
Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $- \infty$ .
Grenzwert gegen $- \infty$ :
$\lim_{x \to - \infty} \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{e^{- x}}} = \infty$
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
$f (x) = e^{- x}$
Ersetze $x$ durch $- x$ .
$f (- x) = e^{- (- x)} = e^{x}$
Da $f (- x)$ weder $- f (x)$ noch $f (x)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ .
Da $f^{'} (x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f (x)$ auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. $x = 0$ :
$f^{'} (0) = - e^{- 0} = - 1 < 0$
Damit ist die Funktion streng monoton fallend in $D_{f} = ℝ$ .

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