Mathe Geometrie Sinus, Kosinus und Tangens Sinussatz und Kosinussatz Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

Die Skizze zeigt ein Parallelogramm mit den Seitenlängen: $a = 6 cm$ und $b = 8 cm$ und dem Winkel $α = 70^{\circ}$ .

Berechne den Winkel $ε$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Parallelogramms

Insbesondere benötigst du folgende Regeln:

Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^{\circ}$ .

Zielgleichung aufstellen

Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel $ε$ enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Winkel $α$ bekannt. Da die Seite $a$ dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für $a$ an.

Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel $ε$ anliegen, die Länge $\frac{e}{2}$ bzw. $\frac{f}{2}$ . Die Zielgleichung ist also:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} \cdot \cos (ε)$

Zielgleichung vereinfachen

Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:

a^{2} = \frac{1}{4} (e^{2} + f^{2}) - \frac{e \cdot f}{2} \cdot \cos (ε)

Fehlende Größen berechnen

Die Längen von $e$ und $f$ kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:

e^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)

f^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (β)

In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180 °$ . Also ist $β = 180 ° - α$ . Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:

$\cos (β) = \cos (180 ° - α) = - \cos (α)$

Damit berechnest du die Werte von $e^{2}, f^{2}$ bzw. $e, f$ :

$\begin{array}{lr} e^{2} = 100 - 96 \cdot \cos (α) \approx 67,17; & e \approx 8,20 \\ f^{2} = 100 + 96 \cdot \cos (α) \approx 132,83; & f \approx 11,53 \end{array}$

Einsetzen in die Zielgleichung

Einsetzen in die Zielgleichung $a^{2} = \frac{1}{4} (e^{2} + f^{2}) - \frac{e \cdot f}{2} \cdot \cos (ε)$ ergibt:

$\begin{array}{lrcll} 36 & \approx & 50 - 47,273 \cos (ε) & | - 50 \\ \Leftrightarrow & - 14 & \approx & - 47,273 \cos (ε) & | : (- 47,273) \\ \Leftrightarrow & \cos (ε) & \approx & 0,2962 \\ \Leftrightarrow & ε & \approx & 72,77 ° \end{array}$

Der gesuchte Winkel $ε$ hat die Größe $72,77 °$ .

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