Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

$\sin (90^{\circ} - α) = \cos (α)$
$\cos (90^{\circ} - α) = \sin (α)$
$\tan (90^{\circ} - α) = \frac{1}{\tan (α)}$

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck $β = 90 ° - α$ .

Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:

\sin (90 ° - α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c}

\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c} .

Deshalb ist $\sin (90 ° - α) = \cos (α)$ .

Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne $\cos (α)$ auf die gleiche Weise wie oben.

Mit der Komplementbeziehung kannst du $\cos (α)$ mit $\sin (90 ° - α)$ gleichsetzen.

\cos (α) = \sin (90 ° - α)

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

\sin (90 ° - α) = \sin (β)

Füge den Wert von $β$ ein, berechne das Ergebnis und runde es auf $2$ Dezimalstellen.

$\sin (β) = \sin (40 °) \approx 0,59.$

Deshalb ist $\cos (α) \approx 0,59.$

Supplementbeziehungen

Sinus	Kosinus	Tangens
$\sin (180 ° + α) = - \sin (α)$	$\cos (180^{\circ} + α) = - \cos (α)$	$\tan (180^{\circ} + α) = + \tan (α)$
$\sin (180 ° - α) = + \sin (α)$	$\cos (180 ° - α) = - \cos (α)$	$\tan (180^{\circ} - α) = - \tan (α)$
$\sin (360^{\circ} - α) = - \sin (α)$	$\cos (360^{\circ} - α) = + \cos (α)$	$\tan (360^{\circ} - α) = - \tan (α)$

Veranschaulichung

$\sin (180 ° + α) = - \sin (α)$ und $\cos (180 ° + α) = - \cos (α)$ lassen sich hier testen:

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