Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von $A$ zur oberen Ecke hat eine Länge von ${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{2}}=2\text{cm}.$

Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt $C$. Die Länge $d$ dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $\begin{array}{rcl}\sqrt{a^2+a^2}& =& d\\ \sqrt{(4\text{cm}{)}^2+(4\text{cm}{)}^2}& =& d\\ \sqrt{32{\text{cm}}^2}& =& d\\ d& =& \sqrt{32}\text{cm}\approx \mathrm{5,66}\text{cm}\end{array}$

Nun kannst du die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen:

Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke $\overline{AB}$.

Wenn du nun im Dreieck $△ABC$ die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke $[AB]$ die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (${\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}}\text{cm}=\sqrt{2}\text{cm}$) von ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ und die Länge der Hypothenuse ($6\text{cm}$). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: $\begin{array}{rcl}\sin ({\displaystyle \frac{\alpha }{2}})& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}}}\\ & & \\ {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}& =& {\sin }^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\ & & \\ \alpha & =& 2\cdot {\sin }^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})& \approx & \mathrm{27,27}°\end{array}$