Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$ und $C (3 | 3 | 6)$ das gleichseitige Dreieck $A B C$ fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck $A B C$ liegt, in Normalform. (4 BE)

Spiegelt man die Punkte $A$ , $B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z (3 | 3 | 3)$ , so erhält man die Punkte $A^{'}$ , $B^{'}$ bzw. $C^{'}$ .

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte $A$ , $B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke $[C C^{'}]$ senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)

c) Begründen Sie, dass das Viereck $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat mit der Seitenlänge $3 \sqrt{2}$ ist. (4 BE)

Der Körper $A B A^{'} B^{'} C C^{'}$ ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat $A B A^{'} B^{'}$ als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C^{'}$ .

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen $36 V E$ besitzt. (2 BE)

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen $A B C$ und $A C^{'} B$ . (4 BE)

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eineGleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Zwischenschritt: Gib die Ebene in Parameterform an

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$ , $C (3 | 3 | 6)$

Stelle zwei Richtungsvektoren der Ebene $E$ auf.

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \\ 6 - 3 \\ 3 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$

$\vec{A C} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \\ 3 - 3 \\ 6 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Schreibe (optional) in der Parameterform.

$E : \vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B} + μ \cdot \vec{A C}$

$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Umrechnen in Normalenform

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}), \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Bilde das Vektorprodukt, um den Normalenvektor zu erhalten. Kürze soweit wie möglich.

$(\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 9 \\ 9 \end{array}) = 9 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ $\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$

Setze in die Vektordarstellung der Normalenform ein.

$E : \vec{n} \circ [\vec{X} - \vec{A}] = 0$

$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 3 \end{array})] = 0$

Rechne aus.

$E : (x_{1} - 6) + (x_{2} - 3) + (x_{3} - 3) = 0$

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0$

Lösung zur Teilaufgabe b)

Lage der Ebene

Hinweis: Du musst zur Beantwortung dieser Frage nicht zwingend die Ebenengleichung aufstellen!

Möglichkeit 1: Über die Koordinaten

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$ , $Z (3 | 3 | 3)$

Schau dir die $x_{3}$ -Koordinaten der drei Punkte an. Sie sind alle identisch, also auf gleicher Höhe! Sie befinden sich alle $3$ Einheiten über der $x_{1}, x_{2}$ -Ebene.

Die Ebene muss somit parallel zur $x_{1}, x_{2}$ -Ebene mit Abstand $3$ sein.

Möglichkeit 2: Über den Normalenvektor

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$ , $Z (3 | 3 | 3)$

Bilde zwei Richtungsvektoren aus den drei Punkten.

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ , $\vec{A Z} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})$

Bilde das Vektorprodukt.

$\vec{A B} \times \vec{A Z} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 9 \end{array})$

Die $x_{1}$ - und $x_{2}$ -Koordinate des Normalenvektors sind 0. Die Ebene erstreckt sich deshalb nicht in $x_{3}$ -Richtung. Sie ist parallel zur $x_{1}, x_{2}$ -Ebene im Abstand $3$ , da die $x_{3}$ -Koordinate bei allen drei Punkten $3$ lautet.

$C^{'} C$ senkrecht auf der Ebene durch $A B Z$

$\vec{C^{'} C}$ ist zweimal der Vektor $\vec{Z C}$ , da $Z$ der Spiegelpunkt ist.

Also kann man statt du zeigen, dass $\vec{C^{'} C}$ senkrecht auf der Ebene steht, genauso gut zeigen, dass $\vec{Z C}$ senkrecht auf der Ebene steht, da sie beide die gleiche Richtung haben.

Stelle $\vec{Z C}$ auf.

$\vec{Z C} = \vec{C} - \vec{Z} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Vergleiche mit dem Normalenverktor der Ebene, denn dieser steht senkrecht auf $E$ .

$- 6 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$

Die Vektoren sind linear abhängig, deshalb steht $\vec{C C^{'}}$ senkrecht auf $E$ .

Lösung zur Teilaufgabe c)

Bestimme $A^{'}$ und $B^{'}$

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3), Z (3 | 3 | 3)$

Bilde die Vektoren $\vec{A Z}$ und $\vec{B Z}$ .

$\vec{A Z} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ , $\vec{B Z} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

Um zu spiegeln, setze die Vektoren $\vec{A Z}$ und $\vec{B Z}$ an den Punkt $Z$ .

$\vec{A^{'}} = \vec{Z} + \vec{A Z} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array})$

$\vec{B^{'}} = \vec{Z} + \vec{B Z} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Berechne die Seitenlängen des Quadrats

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$

$A^{'} (0 | 3 | 3)$ , $B^{'} (3 | 0 | 3)$

Ein Quadrat ist festgelegt durch zwei benachbarte, gleich lange Seiten und einen rechten Winkel zwischen diesen. Verwende $\vec{A B}$ und $\vec{A B^{'}}$ .

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$

$\vec{A B^{'}} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \\ 0 - 3 \\ 3 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

Berechne die Längen der Vektoren.

$\begin{array}{rrl} A B & = & \sqrt{(- 3)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} \\ = & \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \\ A B^{'} & = & \sqrt{(- 3)^{2} + (- 3)^{2} + 0^{2}} \\ = & \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{array}$

Die Seiten sind gleich lang! Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.

$\begin{array}{rrl} \vec{A B} \circ \vec{A B^{'}} & = & 0 \\ - 3 \cdot (- 3) + 3 \cdot (- 3) + 0 \cdot 0 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \Rightarrow \vec{A B} ⟂ \vec{A B^{'}} \end{array}$

Somit ist $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat.

Lösung zur Teilaufgabe d)

Bekannt

$A B A^{'} B^{'}$ ist ein Quadrat mit Seitenlänge $3 \sqrt{2}$ .
$Z$ ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.
$Z C$ ist die Höhe der Pyramide $A B A^{'} B^{'} C$ .

Volumenformel einer Pyramide: $V = \frac{1}{3} G h$

Berechne ihre Grundfläche.

$G = (3 \sqrt{2})^{2} = 18$

Berechne die Höhe $Z C$ .

$\vec{Z C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array})$

Setze in die Formel ein.

$Z C = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 3^{2}} = 3$

$V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18$

Verdopple das Pyramidenvolumen, um das Volumen eines Oktaeders zu erhalten.

$V_{O k t a e d e r} = 2 \cdot 18 = 36$

Das Volumen des Oktaeders beträgt $36$ .

Lösung zur Teilaufgabe e)

Die Dreiecke $A B C$ und $A C^{'} B$ liegen in eindeutig festgelegten Ebenen. Berechne den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.

Berechne die Normalenvektoren der Ebenen

Ebene $E$ durch $A B C$ aus Teilaufgabe a):

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0$

$\vec{n_{E}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$

Ebene $F$ durch $A C^{'} B$ :

$A (6 | 3 | 3)$ , $B (3 | 6 | 3)$ , $C^{'} (3 | 3 | 0)$

Stelle die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C^{'}}$ auf.

$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \\ 6 - 3 \\ 3 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$

$\vec{A C^{'}} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \\ 3 - 3 \\ 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$

Bilde das Vektorprodukt.

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) & \times & (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} - 9 \\ - 9 \\ 9 \end{array}) & = & - 9 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \\ \Rightarrow \vec{n_{F}} & = & (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \end{array}$

Berechne den Winkel mit

$c o s (α) = \frac{\vec{n_{E}} \circ \vec{n_{F}}}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{F}} |}$ .

$c o s (α) = \frac{1 \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} = - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow α = {109,47}^{\circ}$

Der Winkel beträgt also ${109,47}^{\circ}$ .

Lösung zur Teilaufgabe f)

Da $A^{'}$ , $B^{'}$ und $C^{'}$ durch Spiegelung an $Z$ entstanden sind und $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat ist, ist $Z$ der Mittelpunkt der Kugel.

Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von $Z$ ausgehen. Nehme zum Beispiel $\vec{Z C}$ , von dem du bereits weißt, dass er $3 L E$ lang ist.

Kugelgleichung

$Z (3 | 3 | 3)$ , $r = 3$

Stelle die Kugelgleichung auf.

$K : (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}$

$K : (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 3^{2}$

Kugelvolumen

$r = 3$

Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.

$V = \frac{4}{3} r^{3} π$ $V = \frac{4}{3} \cdot 3^{3} π$ $V = 36 π V E = 113,10 V E$

Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen

$\frac{36}{36 π} = \frac{1}{π} \approx 0,318 \approx 31,8 %$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org