Aufgaben zur Oberfläche

Ein Tempel soll restauriert werden, da er ziemlich verfallen ist. Im Rahmen der Sanierungsarbeiten soll er auch einen neuen Anstrich bekommen.

Die Maße des Tempels kannst du aus dem Bild unten entnehmen.

Zusätzlich gibt dir der Bauleiter folgende Informationen:

Die Länge des Tempels ist insgesamt $90 m$ , die in drei gleich lange Teilstücke aufgeteilt sind.
Auf der Rückseite befinden sich $9$ Säulen, an jeder Breitseite jeweils $5$ und vorne insgesamt $10$ .
Der Boden mit der Treppenstufe muss nicht saniert werden

Berechne, für wie viel Fläche die Farbe reichen muss, wenn nur die Säulen gestrichen werden sollen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnung der Mantelfläche einer Säule
Die zu streichende Fläche einer Säule berechnest du über die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders:
$M_{S \ddot{a} u l e} = U \cdot h$
$U$ ist der Umfang der Säule und $h$ die Höhe.
In der Angabe siehst du, dass die Säule einen Durchmesser $d$ von $3 m$ hat. Du kannst damit den Umfang berechnen:
$U = 2 \cdot r \cdot π = d \cdot π$
Setze die Werte in die Formel oben ein.
$M_{Säule}$ $=$ $U \cdot h$
↓
Setze $U = d \cdot π$ ein.
$=$ $d \cdot π \cdot h$
↓
Setze $d = 3 m$ und $h = 20 m$ ein.
$=$ $3 m \cdot π \cdot 20 m$
$=$ $60 π m^{2}$
$\approx$ $188,50 m^{2}$
Jetzt hast du den Mantel einer Säule. Du brauchst aber 25 Säulen.
Berechnung der Mantelfläche aller Säulen
$M_{Säulen}$ $=$ $25 \cdot M_{Säule}$
↓
Rechne mit dem ungerundeten Wert und setze $M_{Säule} = 60 π m^{2}$ .
$=$ $25 \cdot 60 π m^{2}$
$=$ $1500 π m^{2}$
$=$ $4712,39 m^{2}$
Die Farbe muss für $4712,39 m^{2}$ reichen.
Zuerst musst du überlegen, wie viele Säulen der Tempel hat. Die Angabe sagt dir, dass auf der Rückseite 9, auf der Vorderseite 10 und an jeder Breitseite jeweils 5 Säulen sind. Das Problem ist jetzt, dass die Ecksäulen nicht doppelt gezählt werden dürfen.
Du darfst also nur 3 Säulen auf jeder Breitseite zählen und die Vorder- und Rückseite. Insgesamt sind es also $3 + 3 + 9 + 10 = 25$ .
Dann musst du dir überlegen, welche Figur eine Säule ist, nämlich ein Zylinder. Du musst also die Zylinderoberfläche von den 25 Säulen ausrechnen. Allerdings brauchst du dazu nur die Mantelfläche, da der "Boden" und der "Deckel" nicht gestrichen werden können.

Das Dach bekommt einen wasserfesten Anstrich. Dazu wird alles gestrichen, was vom Regen erreicht werden kann, das heißt alles außer die Unterseite des Daches.

Berechne, für wie viel Fläche die wasserfeste Farbe reichen muss.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenformeln von Körpern

Oberfläche der Seitendächer

Die Seitendächer sind Quader, dessen Oberfläche du so berechnen kannst:

O_{Q u a d e r} = 2 \cdot l \cdot b + 2 \cdot l \cdot h + 2 \cdot b \cdot h

( $l$ : Länge des Quaders, $b$ : Breite des Quaders, $h$ : Höhe des Quaders)

Überlege dir jetzt, welche Seiten wirklich gestrichen werden müssen. Du brauchst nur eine $l \cdot b$ Seite und nur eine $l \cdot h$ Seite und zwei $b \cdot h$ Seiten.

$O_{S e i t e n d a c h}$	$=$	$l \cdot b + l \cdot h + 2 \cdot b \cdot h$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $l = 90 m : 3 = 30 m, h = 50 m, h = 5 m$
	$=$	$30 m \cdot 50 m + 50 m \cdot 5 m + 2 \cdot 30 m \cdot 5 m$
	$=$	$2050 m^{2}$

Das ganze brauchst du zwei mal, da es zwei Seitendächer gibt.

O_{S e i t e n d \ddot{a} c h e r} = 2 \cdot 2050 m^{2} = 4100 m^{2}

Oberfläche Mittelteil

Zur Oberfläche vom Mittelteil gelangst du, indem du

die zwei Seiten vom Spitzdach
die Vorder und Rückseite, die sich aus Rechteck und Dreieck zusammensetzen
die zwei Seitenflächen vom Vordach

ausrechnest. $A$ bezeichnet hier immer die Fläche.

A_{S p i t z d a c h O b e r s e i t e} = 2 \cdot l \cdot b

Die Seitenflächen brauchst du zweimal. Die Länge ist $60 m$ . Aber wie lang ist die Breite?

Berechnung der Breite des Seitendachs

Betrachte dazu das Dreieck, das du auf der Vorderseite siehst. Aus diesem musst du jetzt die fehlende Länge ausrechnen. Dies machst du mit dem Satz des Pythagoras.

Wie kommst du jetzt auf die fehlende Strecke?

$h^{2} + c^{2} = b^{2}$ $\Rightarrow$ $b = \sqrt{h^{2} + c^{2}}$ .

Setze die Werte ein.

$b$	$=$	$\sqrt{h^{2} + c^{2}}$
	↓	Setze $h = 10 m$ und $c = 30 m : 2 = 15 m$ ein.
	$=$	$\sqrt{{(10 m)}^{2} + {(15 m)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{100 m^{2} + 225 m^{2}}$
	$=$	$\sqrt{325 m^{2}}$
	↓	Zerlege $325$ in seine Primfaktoren um teilweise zu radizieren.
	$=$	$\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 13} m$
	↓	Radiziere teilweise.
	$=$	$5 \sqrt{13} m$

Mit dieser Breite kannst du jetzt weiter rechnen.

Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs

$A_{S p i t z d a c h O b e r s e i t e}$	$=$	$2 \cdot l \cdot b$
	↓	Die Breite hast du gerade ausgerechnet und die Länge ist $60 m$ .
	$=$	$2 \cdot 60 m \cdot 5 \sqrt{13} m$
	$\approx$	$2163,33 m^{2}$

Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne

A_{S p i t z d a c h V o r d e r s e i t e} = A_{D r e i e c k} + A_{R e c h t e c k}

Wie geht die Flächenformel für Dreiecke? Jetzt benötigst du aber wieder ein anderes Dreieck, nämlich das, was du auf der Vorderseite des Daches siehst.

$A_{S p i t z d a c h V o r d e r s e i t e}$	$=$	$A_{D r e i e c k} + A_{R e c h t e c k}$
	↓	Die Fläche des Dreiecks bestimmst du mithilfe der Höhe $h$ und die Länge der Grundseite $g$ .
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot h + l \cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $g = 30 m, h = 10 m, l = 30 m$ und $b = 5 m$ .
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 30 m \cdot 10 m + 30 m \cdot 5 m$
	↓	Berechne.
	$=$	$300 m^{2}$

Da es sowohl eine Vorder- als auch eine Rückseite gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du die Fläche mal 2 nehmen.

A_{Spitzdach Vorderseite und Rückseite} = 2 \cdot 300 m^{2} = 600 m^{2}

Jetzt fehlen noch zwei kleine Seiten vom Vordach, mit der Länge $10 m$ und Breite $5 m$ .

$A_{S e i t e n f l \ddot{a} c h e n}$	$=$	$2 \cdot l \cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein: $l = 10 m$ und $b = 5 m$
	$=$	$2 \cdot 10 m \cdot 5 m$
	$=$	$100 m^{2}$

Gesamtfläche Dach

\begin{array}{rcl} O_{g e s a m t} & = & O_{S e i t e n d \ddot{a} c h e r} \\ + A_{S p i t z d a c h O b e r s e i t e} \\ + A_{S p i t z d a c h V o r d e r s e i t e u n d R \ddot{u} c k s e i t e} \\ + A_{S e i t e n f l \ddot{a} c h e n} \end{array}

Setze die Werte ein. Am besten die genauen, ungerundeten Werte, ansonsten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

\begin{array}{rcl} O_{g e s a m t} & = & 4100 m^{2} \\ + 2163,33 m^{2} \\ + 600 m^{2} \\ + 100 m^{2} \\ = & 6963,33 m^{2} \end{array}

Es wird also insgesamt so viel Farbe benötigt, dass sie für eine Fläche von $6963,33 m^{2}$ reicht.

Wie viele $10 l$ Eimer Farbe werden für den ganzen Tempel benötigt, wenn ein Liter für $7 m^{2}$ reicht.

Oberfläche Tempel insgesamt
$O_{g e s a m t}$ $=$ $O_{D a c h} + O_{S \ddot{a} u l e n}$
↓
Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.
$\approx$ $6963,33 m^{2} + 4712,39 m^{2}$
$=$ $11675,72 m^{2}$
Wie viele Liter sind das?
Nenne die Anzahl der Liter $x$ . Schaue dir jetzt noch einmal die Angabe an. Es heißt: " $1 l$ reicht für $7 m^{2}$ ". Was sagt dir das?
Das bedeutet, dass man $7 m^{2}$ mit einem Liter Farbe streichen kann. Du musst nun also $O_{G e s a m t}$ durch 7 teilen, um die benötigte Menge an Farbe $x$ zu bestimmen.
$x$ $=$ $O_{g e s a m t} : 7 \frac{m^{2}}{l}$
↓
Setze $O_{G e s a m t}$ ein.
$=$ $11675,72 m^{2} : 7 \frac{m^{2}}{l}$
$=$ $1667,96 l$
Es werden also 1667,96 Liter benötigt.
Wie viele Eimer sind das?
Berechne nun die Anzahl $e$ der Eimer. In einem Eimer sind $10 l$ Farbe.
$e$ $=$ $\frac{x}{10 l}$
↓
Setze $x$ ein.
$=$ $\frac{1667,96 l}{10 l}$
$=$ $166,796$
Es werden also $166,796$ Eimer benötigt. Da man nur ganze Eimer kaufen kann, musst du immer aufrunden.
Antwort: Es werden 167 Eimer Farbe benötigt.
Zuerst musst du die Teilaufgaben a) und b) anschauen und zusammenrechnen, wie viel Quadratmeter Oberfläche du insgesamt ausgerechnet hast. Als nächstes musst du die Quadratmeter durch 7 teilen, um zu wissen, wie viele Liter du benötigst und anschließend nochmal durch 10 teilen, um die Anzahl der Eimer heraus zu finden.

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$M_{Säule}$	$=$	$U \cdot h$
	↓	Setze $U = d \cdot π$ ein.
	$=$	$d \cdot π \cdot h$
	↓	Setze $d = 3 m$ und $h = 20 m$ ein.
	$=$	$3 m \cdot π \cdot 20 m$
	$=$	$60 π m^{2}$
	$\approx$	$188,50 m^{2}$

$M_{Säulen}$	$=$	$25 \cdot M_{Säule}$
	↓	Rechne mit dem ungerundeten Wert und setze $M_{Säule} = 60 π m^{2}$ .
	$=$	$25 \cdot 60 π m^{2}$
	$=$	$1500 π m^{2}$
	$=$	$4712,39 m^{2}$

$O_{g e s a m t}$	$=$	$O_{D a c h} + O_{S \ddot{a} u l e n}$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.
	$\approx$	$6963,33 m^{2} + 4712,39 m^{2}$
	$=$	$11675,72 m^{2}$

$x$	$=$	$O_{g e s a m t} : 7 \frac{m^{2}}{l}$
	↓	Setze $O_{G e s a m t}$ ein.
	$=$	$11675,72 m^{2} : 7 \frac{m^{2}}{l}$
	$=$	$1667,96 l$

$e$	$=$	$\frac{x}{10 l}$
	↓	Setze $x$ ein.
	$=$	$\frac{1667,96 l}{10 l}$
	$=$	$166,796$

Aufgaben zur Oberfläche

Berechnung der Mantelfläche einer Säule

Berechnung der Mantelfläche aller Säulen

Oberfläche der Seitendächer

Oberfläche Mittelteil

Berechnung der Breite des Seitendachs

Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs

Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne

Gesamtfläche Dach

Oberfläche Tempel insgesamt

Wie viele Liter sind das?

Wie viele Eimer sind das?