Gemischte Aufgaben zu Geraden, Strecken oder Halbgeraden

Zwei nicht parallele Geraden $f$ und $g$ haben einen Schnittpunkt. (Bild oben links)

$N_2=1$

Eine weitere Gerade $h$ kann (sofern sie nicht parallel zu $f$ oder $g$ ist) $f$ und $g$ schneiden. Zu dem einen Schnittpunkt $S1$ kommen $2$ Schnittpunkte dazu $S2$ und $S3$.

$3$ Geraden können $3$ Schnittpunkte haben. (Bild oben rechts)

$N_3=1+2=3$

Eine weitere Gerade $i$ kann (sofern sie nicht parallel zu einer der vorherigen Geraden ist) $f$, $g$ und $h$ schneiden. Zu den $3$ Schnittpunkten kommen $3$ Schnittpunkte hinzu $S4$, $S5$ und $S6$.

$4$ Geraden können $6$ Schnittpunkte haben. (Bild unten links)

$N_4=1+2+3=6$

Eine weitere Gerade $j$ kann (sofern sie nicht parallel zu einer der vorherigen Geraden ist) $f$, $g$, $h$ und $i$ schneiden. Zu den $6$ Schnittpunkten kommen $4$ Schnittpunkte hinzu $S7$, $S8$, $S9$ und $S10$.

$5$ Geraden können $10$ Schnittpunkte haben. (Bild unten rechts)

$N_5=1+2+3+4=10$

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$N_n=1+2+3+4+5+6+7+.....+(n-1)$

Für diese Summe gibt es eine Formel, die Gaußsche Summenformel:

Bei den Geradenschnittpunkten beginnt die Summe bei $n=1$ und geht bis $(n-1)$. Für insgesamt $n$ Geraden kann die maximale Anzahl der Schnittpunkte dann nach folgender Formel berechnet werden:

Probe:

$n=4\Rightarrow N={\sum }_{n=1}^{3}k={\displaystyle \frac{(4-1)\cdot 4}{2}}={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2}}=6$

$n=5\Rightarrow N={\sum }_{n=1}^{4}k={\displaystyle \frac{(5-1)\cdot 5}{2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 5}{2}}=10$