Aufgaben zum Volumen einer Kugel

1
Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.
Radius $1 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
Für das Volumen einer Kugel gilt:
$V = \frac{4}{3} r^{3} π$
Setze den Radius $r = 1 cm$ ein.
$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} (1 cm)^{3} π \\ = \frac{4}{3} {π cm}^{3} \\ \approx 4,2 {cm}^{3} \end{array}$

Radius $5 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
$r = 5 cm$
Setze $r$ in die Formel des Kugelvolumens ein.
$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot (5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 523,6 {cm}^{3} \end{array}$

Durchmesser $3 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
$d = 3 cm$
Errechne den Radius $r$ .
$\begin{array}{l} r = \frac{1}{2} \cdot d \\ = \frac{1}{2} \cdot 3 cm \\ = 1,5 cm \end{array}$
Setze den Radius in die Formel für das Kugelvolumen ein.
$\begin{array}{l} V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π \\ = \frac{4}{3} \cdot (1,5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 14,14 {cm}^{3} \end{array}$

Umfang $7 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
Umfang $U = 7 cm$
Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.
$U$ $=$ $2 \cdot r \cdot π$ $: 2 π$
$r$ $=$ $\frac{U}{2 π}$
↓
Setze $U = 7 cm$ ein.
$r$ $=$ $\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
$\approx$ $1,114 cm$
Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{7 cm}{2 \cdot π})}^{3} \cdot π \\ = \frac{7^{3}}{6 \cdot π^{2}} {cm}^{3} \\ \approx 5,792 {cm}^{3} \end{array}$

Oberfläche $10 {cm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
Oberfläche $O = 10 {cm}^{2}$
Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.
$O$ $=$ $4 r^{2} π$ $: 4 π$
$r^{2}$ $=$ $\frac{O}{4 π}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
↓
Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
$r$ $=$ $0,8921 cm$
Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\sqrt{\frac{5 {cm}^{2}}{2 π}})}^{3} \cdot π \\ = \frac{5 \cdot \sqrt{\frac{10}{π}}}{3} {cm}^{3} \\ \approx 2,974 {cm}^{3} \end{array}$
2
Ein Golfball besitzt einen Radius von 2,15 cm. Berechne das Volumen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Ein Golfball ist eine Kugel, deshalb kannst du die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel verwenden.
$V_{Kugel} = \frac{4}{3} π \cdot r^{3}$
Nun brauchst du nur noch die Werte einzusetzen:
$\begin{array}{rcl} V_{Kugel} & = & \frac{4}{3} π \cdot r^{3} \\ V_{Kugel} & = & \frac{4}{3} π \cdot (2,15 cm)^{3} \approx 41,6 {cm}^{3} \end{array}$
Das bedeutet, dass das Volumen des Golfballs $41,6 {cm}^{3}$ beträgt.

Der Durchmesser einer Murmel ist $42 mm$ . Wie groß ist ihr Volumen? Runde auf ganze ${mm}^{3}$ .

mm³

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von $50 cm$ hat?

Runde auf ganze ${cm}^{3}$ .

cm³

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$V$	$=$	$\frac{4}{3} r^{3} π$
	↓	Das ist die Volumenformel der Kugel. Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser berechnen.
$r$	$=$	$\frac{d}{2}$
	↓	Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.
$r$	$=$	$\frac{42}{2} m m$
$r$	$=$	$21 m m$
	↓	r = 21 mm in die Formel für V einsetzen.
$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot {(21 m m)}^{3} \cdot π$
	↓	Wenn du das ausrechnest, erhältst du:
$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 9261 \cdot π \cdot m m^{3}$
$V$	$=$	$12348 \cdot π \cdot m m^{3}$
$V$	$=$	$38792,386... m m^{3}$
	↓	Zum Schluss rundest du noch.
$V$	$=$	$38792 m m^{3}$
	↓	Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter ( ${cm}^{3}$ ) schreiben.
$V$	$\approx$	$38,792 c m^{3}$

$U$	$=$	$2 \cdot r \cdot π$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 π}$
	↓	Setze $U = 7 cm$ ein.
$r$	$=$	$\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
	$\approx$	$1,114 cm$

$O$	$=$	$4 r^{2} π$	$: 4 π$
$r^{2}$	$=$	$\frac{O}{4 π}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
	↓	Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
$r$	$=$	$0,8921 cm$