Aufgaben zu Extremwerten

Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.

Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.

Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion $f (x) = 2^{x}$ und die Straße dem Graphen der Funktion $s (x) = x$ folgen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes $P (x | 2^{x})$ des Bachs von der Straße.

Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.

$d^{2} (x) + d^{2} (x) = {(2^{x} - x)}^{2}$

$d^{2} (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2^{x} - x)}^{2}$

$d (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2^{x} - x)$

Um das Minimum von $d (x)$ zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion $2^{x}$ die Ableitung $d^{'} (x)$ .

$d^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ln (2) \cdot 2^{x} - 1)$

Setze $d^{'} (x) = 0$ um das Minimum von d(x) zu berechnen.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\ln (2) \cdot 2^{x} - 1) = 0$

der 2. Faktor muss 0 werden

$\ln (2) \cdot 2^{x} - 1 = 0$

nach $2^{x}$ auflösen

$2^{x} = \frac{1}{\ln (2)}$

nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen

$x = \frac{1}{\ln (2)} \cdot \ln (\frac{1}{\ln (2)})$

$x \approx 0,53$

Noch fehlt der Nachweis, dass $x \approx 0,53$ tasächlich ein Abstandsminimum liefert.

Da $2^{x}$ streng monton steigend ist, gilt: $d^{'} (0,53 - h) < 0$ und $d^{'} (0,53 + h) > 0$ .Damit liefert $x \approx 0,53$ das Abstandsminimum.

Berechne $d (0,53)$ .

$d (0,53) = \frac{1}{\sqrt{2}} (2^{0,53} - 0,53)$

$d (0,53) \approx 0,65$

Der Bach kommt der Straße auf rund 6,50 m nahe. Der Schutzdamm kann deshalb gebaut werden.

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Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.

Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.

alternative Lösung

Berechne denjenigen Punkt der Exponentialfunktion f, in dem die Steigung 1 ist. Der Abstand dieses Punktes von der Geraden s ist das gesuchte Abstandsminimum.

Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.

$f (x) = 2^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = \ln (2) \cdot 2^{x}$

Setze $f^{'} (x)$ gleich 1.

$\ln (2) \cdot 2^{x} = 1$

Teile durch $\ln (2)$

$2^{x} = \frac{1}{\ln (2)}$

Löse die Gleichung durch Logarithmieren.

$x = \frac{1}{\ln (2)} \cdot \ln (\frac{1}{\ln (2)})$

Einsatz des Taschenrechners.

$x \approx 0,53$

Setze $x = 0,53$ und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.

$P (0,53 | 1,44)$

Den Abstand des Punktes $P (0,53 | 1,44)$ von der Geraden $s : y - x = 0$ berechnet man am bequemsten mit der Hessesche Normalenform der Geraden.

HNF von s:

\frac{y - x}{\sqrt{2}} = 0

Du erhältst den gesuchten Abstand $d (P; s)$ , wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.

\frac{1,44 - 0,53}{\sqrt{2}} = d (P; s)

$d_{m i n} = d (P; s) \approx 0,64$

Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.

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