Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Der Bildpunkt $P^{'}$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P$ an einer Ursprungsgeraden $h$ .Gib die Gleichung der Spiegelachse $h$ , die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von $Q^{'}$ an.

$P (3 | - 4), P^{'} (- 3 | 4), Q (- 5 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
$y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
$(I) : - 3 = 3 \cos (2 α) - 4 \sin (2 α)$
$(I I) : 4 = 3 \sin (2 α) + 4 \cos (2 α)$
Löse $(I)$ nach $\cos (2 α)$ auf.
$\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = - 1 + \frac{4}{3} \sin (2 α)$
Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
$4 = 3 \sin (2 α) - 4 + \frac{16}{3} \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 8 = \frac{25}{3} \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow \frac{24}{25} = \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 2 α = 73,74 °$
$\Leftrightarrow α = 36,87 °$
Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_{h} = \tan α$
$\Rightarrow m_{h} = t a n (36,97 °) = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow h : y = \frac{3}{4} x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x^{'} = x \cos (73,74 °) + y \sin (73,74 °)$
$y^{'} = x \sin (73,74 °) - y \cos (73,74 °)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x^{'} = - 5 \cos (73,74 °) + 1 \sin (73,74 °) = - 0,44$
$y^{'} = - 5 \sin (73,74 °) - 1 \cos (73,74 °) = - 5$
$\Rightarrow Q^{'} (- 0,44 | - 5)$
$P (- 5 | 1), P^{'} (- 1 | 5), Q (4 | 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
$y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
$(I) : - 3 = 3 \cos (2 α) - 4 \sin (2 α)$
$(I I) : 4 = 3 \sin (2 α) + 4 \cos (2 α)$
Löse $(I^{'})$ nach $\cos (2 α)$ auf.
$\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = - 1 + \frac{4}{3} \sin (2 α)$
Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
$(I^{'})$ in $(I I)$ :
$4 = 3 \sin (2 α) - 4 + \frac{16}{3} \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 8 = \frac{25}{3} \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow \frac{24}{25} = \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 2 α = 270 °$
$\Leftrightarrow α = 135 °$
Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_{h} = \tan α$
$\Rightarrow m_{h} = t a n (135 °) = - 1$
Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten: $\Rightarrow h : y = - x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x^{'} = x \cos (270 °) + y \sin (270 °)$
$y^{'} = x \sin (270 °) - y \cos (270 °)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x^{'} = 4 \cos (270 °) + 3 \sin (270 °) = - 3$
$y^{'} = 4 \sin (270 °) - 3 \cos (270 °) = - 4$
$\Rightarrow Q^{'} (- 3 | - 4)$
$P (- 4 | 0,6), P^{'} (- 2,9 | 2,5), Q (- 1 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
Skizze:
Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $α$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P^{'}$ ein und löst nach $α$ auf.
Hier bietet sich die Koordinatenform an:
$x^{'} = x \cos (2 α) + y \sin (2 α)$
$y^{'} = x \sin (2 α) - y \cos (2 α)$
$(I) : - 2,9 = - 4 \cos (2 α) + 0,6 \sin (2 α)$
$(I I) : 2,5 = - 4 \sin (2 α) - 0,6 \cos (2 α)$
Löse $(I)$ nach $\cos (2 α)$ auf.
$\Rightarrow (I^{'}) : \cos (2 α) = 0,725 + 0,15 \sin (2 α)$
Setze $(I^{'})$ in $(I I)$ ein und löse nach $α$ auf.
$(I^{'})$ in $(I I)$ :
$2,5 = - 4 \sin (2 α) - 0,435 - \frac{9}{100} \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 2,935 = - 4,09 \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow - 0,72 = \sin (2 α)$
$\Leftrightarrow 2 α = 314 °$
$\Leftrightarrow α = 157 °$
Du hast also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
$m_{h} = \tan α$
$\Rightarrow m_{h} = t a n (157 °) = - 0,43$
$\Rightarrow h : y = - 0.43 x$
Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q^{'}$ angeben bzw. berechnen.
Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
$x^{'} = x \cos (314 °) + y \sin (314 °)$
$y^{'} = x \sin (314 °) - y \cos (314 °)$
$\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
$x^{'} = - 1 \cos (314 °) - 2 \sin (314 °) = 0,74$
$y^{'} = - 1 \sin (314 °) + 2 \cos (314 °) = 2,09$
$\Rightarrow Q^{'} (0,74 | 2,09)$

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