Mathe Geometrie Spiegelung, zentrische Streckung und andere Abbildungen in der Ebene Berechnung der Abbildungen mit Matrizen Spiegelung an einer Ursprungsgeraden Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte $A (1 | 4)$ , $B (0 | 2)$ , $C (4 | 2)$ an der Gerade $g (x) = x$ und berechne die Koordinaten der Bildpunkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Die Steigung der Geraden ist $1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (1) = 45 °$ ist.

Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:

Die Koordinaten der gespiegelten Punkte erhältst du mit:

$x^{'} = \cos 2 α \cdot x + \sin 2 α \cdot y$

$y^{'} = \sin 2 α \cdot x - \cos 2 α \cdot y$

Setze den Winkel nun $α = 45 °$ ein.

$x^{'} = \cos (2 \cdot 45 °) \cdot x + \sin (2 \cdot 45 °) \cdot y = 0 \cdot x + 1 \cdot y = y$

$y^{'} = \sin (2 \cdot 45 °) \cdot x - \cos (2 \cdot 45 °) \cdot y = 1 \cdot x - 0 \cdot y = x$

Setze die Koordinaten der Punkte $A$ , $B$ und $C$ jetzt in diese Formeln ein und berechne das Ergebnis:

$x_{A}^{'} = 1 \cdot y_{A} = 4$

$y_{A}^{'} = 1 \cdot x_{A} = 1$

$\Rightarrow A^{'} (4 | 1)$

$x_{B}^{'} = 1 \cdot y_{B} = 2$

$y_{B}^{'} = 1 \cdot x_{B} = 0$

$\Rightarrow B^{'} (2 | 0)$

$x_{C}^{'} = 1 \cdot y_{C} = 2$

$y_{C}^{'} = 1 \cdot x_{C} = 4$

$\Rightarrow C^{'} (2 | 4)$

Variante 2: Berechnung in Matrixform:

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
	↓	Setze den WInkel $α = 45 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot 45 °) & \sin (2 \cdot 45 °) \\ \sin (2 \cdot 45 °) & - \cos (2 \cdot 45 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
	↓	Berechne die Werte des Sinus und Cosinus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Setzt nun die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ ein und führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen durch:

$(\begin{array}{c} x_{A}^{'} \\ y_{A}^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{B}^{'} \\ y_{B}^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{C}^{'} \\ y_{C}^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array})$

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