Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P^{'}$ an.

$P (3 | 4)$ , $h (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30 °$ ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
$\begin{array}{rcl} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{array}$
Setze den Winkel $α = 30 °$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{array}{lllll} x^{'} & = & c o s (2 \cdot 30 °) \cdot x + s i n (2 \cdot 30 °) \cdot y & = & \frac{1}{2} \cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y \\ y^{'} & = & s i n (2 \cdot 30 °) \cdot x - c o s (2 \cdot 30 °) \cdot y & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot y \end{array}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | 4)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{array}{c} x^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 & = & \frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \\ y^{'} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 & = & \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2 \end{array}$
$\Rightarrow P^{'} (\frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} | \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2)$
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Winkel $α = 30 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (60 °) & \sin (60 °) \\ \sin (60 °) & - \cos (60 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | 4)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \\ \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2 \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (\frac{3}{2} + 2 \cdot \sqrt{3} | \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} - 2)$
$P (2 | - 5)$ , $h : y = (2 - \sqrt{3}) x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist $2 - \sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (2 - \sqrt{3}) = 15 °$ ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
Setze den Winkel $α = 15 °$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot 15 °) \cdot x + \sin (2 \cdot 15 °) \cdot y & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot 15 °) \cdot x - \cos (2 \cdot 15 °) \cdot y & = & \frac{1}{2} \cdot x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | - 5)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot (- 5) & = & \sqrt{3} - \frac{5}{2} \\ y^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- 5) & = & 1 + \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$
$\Rightarrow P^{'} (\sqrt{3} - \frac{5}{2} | 1 + \frac{5 \sqrt{3}}{2})$
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Winkel $α = 15 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (30 °) & \sin (30 °) \\ \sin (30 °) & - \cos (30 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | - 5)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \sqrt{3} - \frac{5}{2} \\ 1 + \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (\sqrt{3} - \frac{5}{2} | 1 + \frac{5 \sqrt{3}}{2})$
$P (\frac{1}{2} | 3)$ , $h : y = - x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist $- 1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (- 1) = - 45 °$ ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
Setze den Winkel $α = - 45 °$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot - 45 °) \cdot x + \sin (2 \cdot - 45 °) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot - 45 °) \cdot x - \cos (2 \cdot - 45 °) \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (\frac{1}{2} | 3)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & - 3 \\ y^{'} & = & - \frac{1}{2} \end{matrix}$
$\Rightarrow P^{'} (- 3 | - 0,5)$
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Winkel $α = - 45 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (- 90 °) & \sin (- 90 °) \\ \sin (- 90 °) & - \cos (- 90 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (\frac{1}{2} | 3)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 3 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (- 3 | - 0,5)$
$P (\sqrt{3} | 1)$ , $h : y = - \sqrt{3} \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Steigung der Geraden ist $- \sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α = \tan^{- 1} (- \sqrt{3}) = 120 °$ ist.
Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot α) \cdot x + \sin (2 \cdot α) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot α) \cdot x - \cos (2 \cdot α) \cdot y \end{matrix}$
Setze den Winkel $α = 120 °$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & \cos (2 \cdot 120 °) \cdot x + \sin (2 \cdot 120 °) \cdot y & = & (- \frac{1}{2}) \cdot x + (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot y \\ y^{'} & = & \sin (2 \cdot 120 °) \cdot x - \cos (2 \cdot 120 °) \cdot y & = & (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot x - (- \frac{1}{2}) \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (\sqrt{3} | 1)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & (- \frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 & = & - \sqrt{3} \\ y^{'} & = & (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 & = & - 1 \end{matrix}$
$\Rightarrow P^{'} (- \sqrt{3} | - 1)$
Alternative 2: Lösung in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot α) & \sin (2 \cdot α) \\ \sin (2 \cdot α) & - \cos (2 \cdot α) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Winkel $α = 120 °$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (240 °) & \sin (240 °) \\ \sin (240 °) & - \cos (240 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $A (\sqrt{3} | 1)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \sqrt{3} \\ - 1 \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (- \sqrt{3} | - 1)$