Aufgaben zur orthogonalen Affinität

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& \frac{1}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(0|1)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& 0\\ y^{\prime }& =& \frac{1}{2}\cdot 1\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })$ aus.

$\Rightarrow x^{\prime }=0\wedge y^{\prime }=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })=P^{\prime }(0|\frac{1}{2})$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right)\text{}\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{}\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(0|1)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(0|\frac{1}{2})$

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& -2\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{3}{2}|4)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& \frac{3}{2}\\ y^{\prime }& =& -2\cdot 4\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })$ aus.

$\Rightarrow x^{\prime }=\frac{3}{2}\wedge y^{\prime }=-8$

$\Rightarrow P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })=P^{\prime }(\frac{3}{2}|-8)$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $P^{\prime }(\frac{3}{2}|4)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ 4\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ -8\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(\frac{3}{2}|-8)$

Alternative 1: Lösung mit Kordinatenform

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x\\ y^{\prime }& =& -\frac{2}{5}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|-\frac{1}{3})$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& 3\\ y^{\prime }& =& -\frac{2}{5}\cdot -\frac{1}{3}\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })$ aus.

$\Rightarrow x^{\prime }=3\wedge y^{\prime }=\frac{2}{15}$

$\Rightarrow P^{\prime }(x^{\prime }|y^{\prime })=P^{\prime }(3|\frac{2}{15})$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\text{}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -\frac{2}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punkktes $P(3|-\frac{1}{3})$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -\frac{2}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(3|\frac{2}{15})$