Aufgaben zur orthogonalen Affinität

Mit diesen Aufgaben lernst du Punkte mithilfe orthogonaler Affinität abzubilden.

1
Bestimme den Bildpunkt $P^{'}$ des Punktes $P$ durch orthogonale Affinität.
$P (0 | 1)$ , Affinitätsfaktor $k = \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Affinität
Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform:
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & k \cdot y \end{matrix}$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (0 | 1)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & 0 \\ y^{'} & = & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{matrix}$
Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{'} (x^{'} | y^{'})$ aus.
$\Rightarrow x^{'} = 0 \land y^{'} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow P^{'} (x^{'} | y^{'}) = P^{'} (0 | \frac{1}{2})$
Alternative 2: Lösung mit Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (0 | 1)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (0 | \frac{1}{2})$

$P (\frac{3}{2} | 4)$ , Affinitätsfaktor $k = - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Affinität
Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & k \cdot y \end{matrix}$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & - 2 \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (\frac{3}{2} | 4)$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & \frac{3}{2} \\ y^{'} & = & - 2 \cdot 4 \end{matrix}$
Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{'} (x^{'} | y^{'})$ aus.
$\Rightarrow x^{'} = \frac{3}{2} \land y^{'} = - 8$
$\Rightarrow P^{'} (x^{'} | y^{'}) = P^{'} (\frac{3}{2} | - 8)$
Alternative 2: Lösung mit Matrixform
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punktes $P^{'} (\frac{3}{2} | 4)$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 4 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ - 8 \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (\frac{3}{2} | - 8)$

$P (3 | - \frac{1}{3})$ , Affinitätsfaktor $k = - \frac{2}{5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Affinität
Alternative 1: Lösung mit Kordinatenform
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & k \cdot y \end{matrix}$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & x \\ y^{'} & = & - \frac{2}{5} \cdot y \end{matrix}$
Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | - \frac{1}{3})$ in das Gleichungssystem ein.
$\begin{matrix} x^{'} & = & 3 \\ y^{'} & = & - \frac{2}{5} \cdot - \frac{1}{3} \end{matrix}$
Rechne die Koordinaten des Punktes $P^{'} (x^{'} | y^{'})$ aus.
$\Rightarrow x^{'} = 3 \land y^{'} = \frac{2}{15}$
$\Rightarrow P^{'} (x^{'} | y^{'}) = P^{'} (3 | \frac{2}{15})$
Alternative 2: Lösung mit Matrixform
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Setze die Koordinaten des Punkktes $P (3 | - \frac{1}{3})$ in den Vektor ein.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$
$\Rightarrow P^{'} (3 | \frac{2}{15})$

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Aufgaben zur orthogonalen Affinität

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung mit Matrixform:

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

Alternative 1: Lösung mit Kordinatenform

Alternative 2: Lösung mit Matrixform