Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen und gib die Funktionen in ihrer Linearfaktordarstellung an.

$g (u) = u^{3} - 2 u^{2} - u + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Man berechnet Nullstellen der Funktion $g$ , indem man die $u$ -Werte findet, für die $g (u) = 0$ gilt.
$g (u)$ $=$ $u^{3} - 2 u^{2} - u + 2$
↓
Setze die Funktion gleich $0$ .
$0$ $=$ $u^{3} - 2 u^{2} - u + 2$
↓
Finde die erste Nullstelle durch Probieren.
Hier: $u_{1} = 1$ , denn:
$g (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$
Führe nun mit $g (u)$ und dem Linearfaktor $(u - 1)$ eine Polynomdivision durch.
$\begin{array}{l} (u^{3} - 2 u^{2} - u + 2) : (u - 1) = u^{2} - u - 2 \\ - (u^{3} - u^{2}) \\ - u^{2} - u \\ - (- u^{2} + u) \\ - 2 u + 2 \\ - (- 2 u + 2) \\ 0 \end{array}$
Berechne nun also die Nullstellen von $u^{2} - u - 2$ . Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.
$u_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
↓
Berechne die Wurzel.
$=$ $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$
$=$ $\frac{1 \pm 3}{2}$
$u_{2}$ $=$ $\frac{1 + 3}{2}$
$=$ $2$
$u_{3}$ $=$ $\frac{1 - 3}{2}$
$=$ $- 1$
Linearfaktor Darstellung
Schreibe nun die Funktion $g$ in Linearfaktorendarstellung.
$g (u) = (u - 1) \cdot (u - 2) \cdot (u + 1)$
$l (z) = z^{3} + 4 z^{2} + 4 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Man berechnet Nullstellen der Funktion $l$ , indem man die $z$ -Werte findet, für die $l (z) = 0$ gilt.
$l (z)$ $=$ $z^{3} + 4 z^{2} + 4 z$
↓
Setze die Funktion $l$ gleich $0$ .
$0$ $=$ $z^{3} + 4 z^{2} + 4 z$
↓
Klammere ein $z$ aus.
$0$ $=$ $z \cdot (z^{2} + 4 z + 4)$
Die erste Nullstelle von $l (z)$ ist also: $z_{1} = 0.$
Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion $z^{2} + 4 z + 4$ . Nutze dafür die Mitternachtsformel.
$z_{2,3}$ $=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
↓
Berechne die Wurzel.
$=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$
$=$ $\frac{- 4 \pm 0}{2}$
Die zweite Nullstelle $z_{2,3} = - 2$ ist eine doppelte Nullstelle.
Linearfaktor Darstellung
Schreibe nun die Funktion $l$ in Linearfaktorendarstellung.
$l (z) = z \cdot (z + 2)^{2}$
$h (x) = x^{3} - x^{2} + x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Man berechnet Nullstellen der Funktion $h$ , indem man die $x$ -Werte findet, für die $h (x) = 0$ gilt.
$h (x)$ $=$ $x^{3} - x^{2} + x - 1$
↓
Setze die Funktion gleich $0$ .
$0$ $=$ $x^{3} - x^{2} + x - 1$
↓
Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.
Finde eine Nullstelle durch Probieren.
Hier $x_{1} = 1$ , denn:
$h (1) = 1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$
Führe nun die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (x^{3} - x^{2} + x - 1) : (x - 1) = x^{2} + 1 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ x - 1 \\ - (x - 1) \\ 0 \end{array}$
Da $x^{2} + 1$ keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.
Linearfaktor Darstellung
Schreibe nun die Funktion $h$ in Linearfaktorendarstellung.
$h (x) = (x - 1) \cdot (x^{2} + 1)$

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

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$g (u)$	$=$	$u^{3} - 2 u^{2} - u + 2$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$0$	$=$	$u^{3} - 2 u^{2} - u + 2$
	↓	Finde die erste Nullstelle durch Probieren.

$u_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$
	$=$	$\frac{1 \pm 3}{2}$
$u_{2}$	$=$	$\frac{1 + 3}{2}$
	$=$	$2$
$u_{3}$	$=$	$\frac{1 - 3}{2}$
	$=$	$- 1$

$l (z)$	$=$	$z^{3} + 4 z^{2} + 4 z$
	↓	Setze die Funktion $l$ gleich $0$ .
$0$	$=$	$z^{3} + 4 z^{2} + 4 z$
	↓	Klammere ein $z$ aus.
$0$	$=$	$z \cdot (z^{2} + 4 z + 4)$

$z_{2,3}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm 0}{2}$

$h (x)$	$=$	$x^{3} - x^{2} + x - 1$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$0$	$=$	$x^{3} - x^{2} + x - 1$
	↓	Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.

$f (x)$	$=$	$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$	$=$	$0$
	↓	$x$ ausklammern .
$x \cdot (x^{2} + 3 x - 4)$	$=$	$0$
$x_{1}$	$=$	$0$
	↓	Setze die Klammer gleich $0$ .
$(x^{2} + 3 x - 4)$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{2}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 3 + 5}{2}$
	$=$	$1$
$x_{3}$	$=$	$\frac{- 3 - 5}{2}$
	$=$	$- 4$

Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Linearfaktor Darstellung

Linearfaktor Darstellung

Linearfaktor Darstellung

Linearfaktor Darstellung