A3

Aufgabe 4

Für jedes $a \in ℝ$ ist durch die Gleichung $f_{a} (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}, x \in ℝ$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für $a = 0$ abgebildet.

Es gibt genau einen Wert von $a$ , sodass die Funktion $f_{a}$ nur eine Nullstelle besitzt.
Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Ermittle diesen Wert von $a$
Gegeben ist $f_{a} (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}$ .
Berechne die Nullstellen:
Löse die Gleichung $f (x) = 0$ :
$0 = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}$
Wegen $e^{x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ ist $x + 2 = 0$ oder $(3 x + a)^{2} = 0$ (Satz vom Nullprodukt).
$\Rightarrow x = - 2 \lor x = - \frac{a}{3}$
Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $- \frac{a}{3} = - 2 \Rightarrow a = 6$ .
Für $a = 6$ hat der Graph von $f_{6} (x)$ nur eine Nullstelle.
Berechne die Nullstellen, d.h. löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen $\Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .
Löse diese Gleichung nach $a$ auf.
Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ der Punkt $P (3 | 90 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gegeben ist der Punkt $P (3 | 90 e^{3})$ .
$\Rightarrow 90 e^{3} = \frac{1}{2} (3 + 2) (3 \cdot 3 + a)^{2} e^{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (9 + a^{2}) \cdot e^{3}$
Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (9 + a^{2})$ .
$\Rightarrow 36 = (9 + a)^{2} \Rightarrow a_{1,2} = - 9 \pm 6 \Rightarrow a = - 15 \lor a = - 3$
Für $a = - 15$ oder $a = - 3$ liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ .
Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in $f_{a} (x)$ ein und löse die Gleichung nach $a$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

A3

Aufgabe 4

Ermittle diesen Wert von a

Ermittle diesen Wert von $a$