Wahlteil

Berechnen, wie viel Kubikmeter Erde für den Bau der Pyramide benötigt wurden.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{h}=13\text{ m}$

Die Grundfläche $\text{𝐆}$ der Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm{a}=35\text{ m}\Rightarrow$

$\Rightarrow \text{G}={35}^2$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {35}^2\cdot 13$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 15925$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3$

Für den Bau der Pyramide wurden $\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3$ Erde benötigt.

Berechnen der Anzahl der Treppenstufen.

Folgende Größen sind bekannt:

Höhe der Pyramide: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=13\text{ m}$

Höhe einer Treppenstufe: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=20\text{ cm}$

Wir rechnen die Höhe der Treppenstufe in Meter um,

indem wir $20$ durch $100$ teilen.

${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{20}{100}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=\mathrm{0,2}\text{ m}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=13:\mathrm{0,2}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=65$

Die Anzahl der Treppenstufen beträgt: $65$.

Berechnen der Treppenlänge x.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das farbig markierte Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2}$

$\mathrm{x}=\sqrt{{13}^2+{\left({\displaystyle \frac{35}{2}}\right)}^2}$

$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{474,25}}$

$\text{x}\approx \mathrm{21,80}$

Die Treppenlänge x beträgt ungefähr: $\mathrm{21,80}\text{ m}$.

Berechnen der Größe der zu mähenden Fläche.

Die zu mähende Fläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.

Die Mantelfläche besteht aus $4$ Dreiecken.

Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\text{g}=35\text{ m}\text{ h}=\mathrm{21,80}\text{ m}$ (Treppenlänge $\text{𝐱}$, siehe Teilaufgabe 1c)

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{35\cdot \mathrm{21,80}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{763}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{381,5}{\text{ m}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot \mathrm{381,5}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=1526{\text{ m}}^2$

Die Größe der zu mähenden Fläche beträgt: $1526{\text{ m}}^2$.

Hinweis:

Wir haben hier für die Höhe $\text{𝐡}$ des Dreiecks mit dem auf $2$ Stellen nach dem Komma gerundeten Wert $\mathrm{21,80}$ gerechnet, wenn du für $\text{𝐡}$ mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du $\mathrm{1526,02}$.

Berechnen des Radius des Kegels.

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={35}^2=1225{\text{ m}}^2$

Einsetzen der bekannten Größen und Auflösen der Formel nach $\text{𝐫}$:

$1225={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }|:\pi$

${\displaystyle \frac{1225}{\mathrm{\pi }}}={\mathrm{r}}^2$

$\mathrm{389,93}={\mathrm{r}}^2\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{389,93}}$

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}$

Der Radius des Kegels beträgt: $\mathrm{19,75}\text{ m}$.

Vergleichen der Treppenlänge der Pyramide mit der Mantellinie des Kegels.

Der Radius $\text{𝐫}$ bildet mit der Höhe $\text{𝐡}$ und der Mantellinie $\text{𝐦}$ ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige Dreieck:

${\mathrm{m}}^2={\mathrm{r}}^2+{\mathrm{h}}^2$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\mathrm{h}=13\text{ m}$

Einsetzen der bekannten Größe in die Formel:

$\mathrm{m}=\sqrt{{\mathrm{19,75}}^2+{13}^2}$

$\mathrm{m}=\sqrt{\mathrm{559,06}}$

$\text{m}=\mathrm{23,64}\text{ m}$

Treppenlänge der Pyramide: $\mathrm{21,80}\text{ m}$

Treppenlänge des Kegels: $\mathrm{23,64}\text{ m}$

Die Treppenlänge des Kegels ist größer als bei der Pyramide.

Kreuze entsprechend an.