A3

Aufgabe 3

Für jedes $a \in ℝ$ ist durch die Gleichung $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}, x \in ℝ$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.

Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an
Gegeben ist $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0 = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$
Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \lor 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$
Demnach sind $x = - 2$ und $x = - \frac{1}{2}$ die beiden Nullstellen.
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Benutze dabei den Satz vom Nullprodukt.
In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für ein konkretes $a$ abgebildet.
Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ . (2 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Der Graph von $f_{0}$ hat die beiden Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ .
(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)
Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.
In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}$ abgebildet.
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Welche Nullstellen hat der Graph von $f_{0}$ ?
Vergleiche mit Abbildung 3.
Ermitteln Sie, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt
Gegeben ist der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}$ ein:
$40 e^{3}$ $=$ $(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
↓
Vereinfache.
$40 e^{3}$ $=$ $5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$ $: e^{3}$
$40$ $=$ $30 + 5 a$ $- 30$
$10$ $=$ $5 a$ $: 5$
$2$ $=$ $a$
Für $a = 2$ liegt der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{2}$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a}$ ein und löse nach $a$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

$40 e^{3}$	$=$	$(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
	↓	Vereinfache.
$40 e^{3}$	$=$	$5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$	$: e^{3}$
$40$	$=$	$30 + 5 a$	$- 30$
$10$	$=$	$5 a$	$: 5$
$2$	$=$	$a$

A3

Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion f1 mit f1(x)=(x+2)(2x+1)⋅ex an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: a=0

Ermittle, für welchen Wert von a der Punkt P(3|40e3) auf dem Graphen der Funktion fa liegt

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt