Wahlteil

Die Bergbahn „Waldi" fährt von einer Talstation zu einer Bergstation. Danny hat eine Skizze gezeichnet und einige Streckenlängen eingetragen.

Berechne den Höhenunterschied $h$ .
[2 Pkte]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Die Skizze zeigt ein rechtwinkliges Dreieck.
$h^{2} + {5,53}^{2} = {5,57}^{2}$
$h^{2} = {5,57}^{2} - {5,53}^{2} = 0,444$
$h \approx \pm 0,66633$
Nur der positive Wert ergibt hier ein sinnvolles Ergebnis.
Der Höhenunterschied $h$ beträgt $0,67 km$ .
Berechne die Höhe $h$ mit dem Satz des Pythagoras.
Berechne die Größe des Steigungswinkels $α$ .
[2 Pkte]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der Winkel $α$ kann mithilfe der Sinus Winkelfunktion berechnet werden.
$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (α) = \frac{0,66633}{5,57} = 0,1196$
$α \approx {6,87}^{\circ}$
Berechne den Winkel mit einer geeigneten trigonometrischen Funktion
Die Bergbahn „Rosi" hat eine Steigung von $9 %$ .
Entscheide mithilfe einer Rechnung, welche Bergbahn die größere Steigung hat.
[3 Pkte]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Steigungswinkel der Bergbahn "Rosi"
$\tan (α) = \frac{9}{100} = {5,14}^{\circ}$
Vergleich der Steigungswinkel
${5,14}^{\circ} < {6,87}^{\circ}$
Die Bergbahn "Waldi" hat die größere Steigung.
Berechne mit einer geeigneten trigonometrischen Funktion den Steigungswinkel der Bergbahn "Rosi".
Vergleiche die Steigungswinkel und entscheide.
Danny behauptet: „Die Steigung einer Strecke kann höchstens $100 %$ betragen."
Zeige, dass Dannys Behauptung falsch ist.
[1 Pkt]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Bei einem Steigungswinkel von $45^{\circ}$ beträgt die Steigung $100 %$ .
$\arctan (\frac{100}{100}) = 45^{\circ}$
Der Steigungswinkel kann aber auch größer sein.
Dannys Behauptung ist falsch.
Damit Züge in Kurven schneller fahren können, werden die Gleise etwas geneigt. Die maximale Geschwindigkeit hängt vom Neigungswinkel $α$ ab.
Bestimme die maximale Geschwindigkeit, mit der ein Zug bei einem Höhenunterschied von $u = 217$ mm durch die Kurve fahren darf.
$\begin{array}{cc} Neigungswinkel α & max. Geschwindigkeit \\ 0^{\circ} bis {4,3}^{\circ} & 60 \frac{km}{h} \\ über {4,3}^{\circ} bis {8,6}^{\circ} & 80 \frac{km}{h} \\ über {8,6}^{\circ} & 90 \frac{km}{h} \end{array}$
[2 Pkte]
Größe des Neigungswinkels $α$ bei einem Höhenunterschied von $u = 217 mm$ .
$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (α) = \frac{217}{1435} \approx {8,70}^{\circ}$
Vergleich mit den Neigungswinkeln der gegebenen Tabelle
${8,7}^{\circ} > {8,6}^{\circ}$
Der Zug kann mit $90 \frac{km}{h}$ durch die Kurve fahren.
Berechne den Neigungswinkel bei einem Höhenunterschied von $u = 217 mm$ .
Vergleich den Winkel mit den Winkeln der Tabelle und entscheide.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org