Wahlteil

Ein Maibaum besteht oft aus einem Stamm und mehreren ringförmigen Kränzen, die mit Seilen am Stamm befestigt sind.

Der obere Kranz hat einen Durchmesser von $2,40 m$ .

Berechne den Umfang des oberen Kranzes
[ 1 Pkt ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.
Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:
$U_{K r e i s} = d \cdot π$
Einsetzen der bekannten Größe.
$U_{K r a n z} = 2,40 \cdot π$
$U_{K r a n z} = 7,54 m$
Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $7,54 m$ .
Berechne $h_{a}$ .
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnen von $h_{a}$ .
Die Höhe $𝐡_{𝐚}$ bildet mit dem Radius $𝐫_{𝐚}$ und der Seillänge $𝐚$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $𝐚$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.
Der Satz des Pythagoras lautet:
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
Der Satz des Pythagoras, angewandt auf unsere Dreieck:
$a^{2} = (r_{a})^{2} + (h_{a})^{2}$
Folgende Größen sind bekannt:
$a = 2 m r_{a} = \frac{2,40}{2} = 1,2 m$
Einsetzen in die Formel:
↓
$2^{2}$ $=$ ${1,2}^{2} + (h_{a})^{2}$ $- {1,2}^{2}$
↓
subtrahieren
$4 - 1,44$ $=$ $(h_{a})^{2}$
↓
Seiten tauschen
$(h_{a})^{2}$ $=$ $2,56$ $\sqrt{}$
$\sqrt{(h_{a})^{2}}$ $=$ $\sqrt{2,56}$
↓
Wurzel ziehen
$h_{a}$ $=$ $1,60$
Die Höhe $h_{a}$ beträgt: $1,60 m$ .
Berechne $h_{a}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.
Berechne die Größe des Winkels $α$ .
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Größe des Winkels $α$ .
Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:
$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
Angewandt auf unser Dreieck:
$\cos (α) = \frac{1,2}{2}$
$\cos (α) = 0,6 \Rightarrow α = {53,13}^{\circ}$
Der Winkel $α$ beträgt: ${53,13}^{\circ}$ .
Berechne den Winkel $α$ mithilfe des Kosinus.
Bestimme die Größe des Winkels δ.
(Solltest du die Teilaufgabe c) nicht gelöst haben, rechne mit $α = 52,12 °$ weiter.)
[ 1 Pkt ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Bestimmen der Größe des Winkels δ.
Die Definition des Sinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:
$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
Angewandt auf unser Dreieck:
$\sin (δ) = \frac{1,2}{2}$
$\sin (δ) = 0,6 \Rightarrow δ = {36,87}^{\circ}$
Der Winkel $δ$ beträgt: ${36,87}^{\circ}$ .
Berechne den Winkel $δ$ mithilfe des Sinus.
Berechne die Seillänge $b$ des unteren Kranzes.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Seillänge $b$ des unteren Kranzes.
Die Seillänge $𝐛$ bildet mit dem Radius $𝐫_{𝐛}$ und der Höhe $0,70 m$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $𝐛$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.
Die Definition des Sinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:
$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
Angewandt auf unser Dreieck:
$\sin (16^{\circ}) = \frac{0,70}{b} \Rightarrow b = \frac{0,70}{s i n (16^{\circ})}$
$b = 2,54$
Die Seillänge $𝐛$ beträgt: $2,54 m$ .
Berechne die Seillänge $𝐛$ des unteren Kranzes mithilfe des Sinus.
Begründe, dass folgende Aussage wahr ist:
„Wenn der Durchmesser eines Kranzes verdreifacht wird, dann verdreifacht sich auch der Umfang des Kranzes.“
[ 1 Pkt ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Begründen, dass die obige Aussage wahr ist.
Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:
$U_{K r e i s} = d \cdot π$
Verdreifachen des Durchmessers:
$n \cdot U_{K r e i s} = 3 \cdot d \cdot π$
Ersetzen von $U_{K r e i s}$ durch ( $d \cdot π$ )
$n \cdot d \cdot π = 3 \cdot d \cdot π$
$n = \frac{3 \cdot d \cdot π}{d \cdot π} \Rightarrow n = 3$
Dann ist:
$3 \cdot U_{K r e i s} = 3 \cdot d \cdot π$
Die Aussage ist also wahr.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

Einsetzen in die Formel:
	↓
$2^{2}$	$=$	${1,2}^{2} + (h_{a})^{2}$	$- {1,2}^{2}$
	↓	subtrahieren
$4 - 1,44$	$=$	$(h_{a})^{2}$
	↓	Seiten tauschen
$(h_{a})^{2}$	$=$	$2,56$	$\sqrt{}$
$\sqrt{(h_{a})^{2}}$	$=$	$\sqrt{2,56}$
	↓	Wurzel ziehen
$h_{a}$	$=$	$1,60$

Wahlteil

Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Berechnen von ha.

Berechnen der Größe des Winkels α.

Bestimmen der Größe des Winkels δ.

Berechnen der Seillänge b des unteren Kranzes.

Begründen, dass die obige Aussage wahr ist.

Berechnen von $h_{a}$ .

Berechnen der Größe des Winkels $α$ .

Berechnen der Seillänge $b$ des unteren Kranzes.