B2

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{5}{16} x^{4} + 5 x^{3}$ .
Abbildung
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 | 0)$ parallel zur $x$ -Achse verläuft. (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist
Gegeben ist $f (x) = - \frac{5}{16} x^{4} + 5 x^{3}$ .
Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ :
$f^{'} (x) = - \frac{5}{4} x^{3} + 15 x^{2}$
$f^{''} (x) = - \frac{15}{4} x^{2} + 30 x$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = - \frac{5}{4} x^{3} + 15 x^{2} = 5 x^{2} \cdot (- \frac{1}{4} x + 3)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x = 0 \lor - \frac{1}{4} x + 3 = 0 \Rightarrow x = 12$
Lokale Extremstellen sind $x = 0$ oder $x = 12$ .
Nach Aufgabenstellung muss nur $x = 12$ beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
$\Rightarrow f^{''} (12) = - \frac{15}{4} \cdot 12^{2} + 30 \cdot 12 = - 180 < 0 \Rightarrow$ Maximum
Berechne $f (12) = - \frac{5}{16} \cdot 12^{4} + 5 \cdot 12^{3} = 2160$ .
Der Punkt $(12 | 2160)$ ist also ein Hochpunkt des Graphen von $f$ .
Teil 1
Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
Nach Aufgabenstellung muss nur $x = 12$ untersucht werden.
Teil 2
Es ist $f^{'} (0) = 0$ und $f (0) = 0$ . Was folgt daraus?

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft.
Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat. (6 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{''} (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = - \frac{15}{4} x^{2} + 30 x = 15 \cdot x (- \frac{1}{4} \cdot x + 2)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x = 0 \lor - \frac{1}{4} x + 2 = 0 \Rightarrow x = 8$
Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{'''} (x) \neq 0$ erfüllt ist.
Berechne $f^{'''} (x) = - \frac{15}{2} x + 30 \Rightarrow f^{''} (0) = 30 \neq 0$ und $f^{'''} (8) = - \frac{15}{2} \cdot 8 + 30 = - 30 \neq 0$
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor.
Berechne $f (0) = 0$ und $f (8) = - \frac{5}{16} \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{3} = 1280$ .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W P_{1} (0 | 0)$ und $W P_{2} (8 | 1280)$ .
Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
$y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1} \Rightarrow y = \frac{1280 - 0}{8 - 0} \cdot (x - 0) + 0$
$\Rightarrow g : y = 160 \cdot x$
Die Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, lautet $y = 160 \cdot x$ .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat
Die zu $g$ parallele Gerade hat für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam.
Teil 1
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{''} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Die hinreichende Bedingung ist $f^{'''} (x) \neq 0$ .
Berechne $f (x_{1})$ und $f (x_{2})$ $\Rightarrow W P_{1} (x_{1} | f (x_{1}))$ und $W P_{2} (x_{2} | f (x_{2}))$ .
Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung: $y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
Teil 2
Zeichne die zu $g$ parallele Gerade, die für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat, in die Abbildung ein.

Die Punkte $O (0 | 0), B (b | 0)$ und $C (b | f (b))$ bilden für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ ein Dreieck $O B C$ .
Ermitteln Sie denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.
$[$ Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich. $]$ (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Ermittle denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an
Abbildung mit einem eingezeichneten Dreieck $O B C$ :
Abbildung mit Dreieck
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$\Rightarrow A (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (- \frac{5}{16} \cdot b^{4} + 5 \cdot b^{3}) = - \frac{5}{32} \cdot b^{5} + \frac{5}{2} \cdot b^{4}$
Lasse dir die Funktion $A (x) = - \frac{5}{32} \cdot x^{5} + \frac{5}{2} \cdot x^{4}$ anzeigen und ermittle das absolute Maximum von $A (b)$ mit dem GTR-Rechner im Intervall $[0; 16]$ .
Das Maximum hat die gerundeten Koordinaten $(12,8 | 13422)$ .
Für $b = 12,8$ hat das Dreieck $O B C$ den maximalen Flächeninhalt von rund $13422 FE$ .
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \Rightarrow A (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f (b)$ .
Bestimme das absolute Maximum von $A (b)$ mit dem GTR-Rechner im Intervall $[0; 16]$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist $f (x) = - \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3}$ .
Für jede reelle Zahl $a$ ist eine in $ℝ$ definierte Funktion $h_{a}$ mit $h_{a} (x) = 5 a x^{2}$ gegeben.
Beschreiben Sie, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann.
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
Beschreibe, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann
Gegeben ist $h_{a} (x) = 5 a x^{2}$ .
$\Rightarrow h_{4} (x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{2} = 20 x^{2}$ und $h_{3} (x) = 5 \cdot 3 \cdot x^{2} = 15 x^{2}$
Es gilt: $15 x^{2} \overset{\overset{}{\cdot \frac{4}{3}}}{\to} 20 x^{2}$
Der Graph von $h_{4}$ entsteht durch Streckung in y-Richtung des Graphen von $h_{3}$ mit dem Faktor $\frac{4}{3}$ .
Gib die Funktionsgleichung von $h_{4}$ und $h_{3}$ an.
Mit welcher Transformation kommt man vom Funktionsterm von $h_{3}$ zum Funktionsterm von $h_{4}$ ?

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 | f (4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 | f (4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt
Gegeben sind $f (x) = - \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3}$ und $(4 | f (4))$ .
$\Rightarrow f (4) = - \frac{5}{16} \cdot 4^{4} + 5 \cdot 4^{3} = 240 \Rightarrow (4 | 240)$
$h_{a} (x) = 5 a x^{2}$
Setze die Koordinaten des Punktes $(4 | 240)$ in $h_{a} (x)$ ein:
$240 = 5 \cdot a \cdot 4^{2} = 80 a \Rightarrow a = \frac{240}{80} = 3$
Der Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 | f (4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt, ist $a = 3$ .
Berechne $f (4)$ und setze die Koordinaten des Punktes $(4 | f (4))$ in $h_{a} (x)$ ein.
Löse nach $a$ auf.

Die Gleichung $f (x) = h_{3,75} (x)$ hat genau die drei Lösungen $x_{1} = 0, x_{2} = 6$ und $x_{3} = 10$ und es gilt $\int_{0}^{10} (f (x) - h_{3,75} (x)) d x = 0$ .
Erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3,75}$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3,75}$
Die drei Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $h_{3,75}$ sind gegeben.
Die beiden Graphen schließen zwei Flächenstücke ein.
Es wird von $x_{1}$ bis $x_{3}$ integriert, also über $x_{2}$ hinweg.
Wenn das Integral den Wert null hat, bedeutet das, dass ein Flächenstück unterhalb und ein Flächenstück oberhalb der x-Achse liegen und die Flächeninhalte gleich groß sind.
Wenn das Integral den Wert null hat, bedeutet das, dass ein Flächenstück unterhalb und ein Flächenstück oberhalb der x-Achse liegen und die Flächeninhalte gleich groß sind.

Ermitteln Sie, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben
Gegeben sind $f (x) = - \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3}$ und $h_{3} (x) = 15 x^{2}$ .
Der Abstand ist $d (x) = f (x) - h_{3} (x) = - \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3} - 15 x^{2}$ .
Es soll im Intervall $[0; 16]$ gelten $| d (x) | = 250$ $\Rightarrow | - \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3} - 15 x^{2} | = 250$ ,
Löse die Gleichung mit dem GTR-Rechner:
Für $- \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3} - 15 x^{2} = 250$ erhält man die Lösungen $x_{1} \approx 7,21$ und $x_{2} \approx 11,08$ .
Für $- \frac{5}{16} \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3} - 15 x^{2} = - 250$ erhält man die Lösungen $x_{3} \approx - 2,81$ und $x_{4} \approx 12,59$ .
Die Lösung $x_{3} \approx - 2,81$ liegt nicht im Intervall $[0; 16]$ .
Man erhält als Lösung die Stellen $x \approx 7,21, x \approx 11,08$ und $x \approx 12,59$ an denen die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben.
Der Abstand ist $d (x) = f (x) - h_{3} (x)$ .
Im Intervall $[0; 16]$ gelten $| d (x) | = 250$ .
Löse die Gleichung mit GTR. Beachte dabei, dass die Lösungen im Intervall $[0; 16]$ liegen müssen.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{5}{16} x^{4} + 5 x^{3}$ .
Abbildung
Ein Unternehmen lagert Glyzerin in einem Tank. Die momentane Änderungsrate des Tankinhalts kann für $0 \leq x \leq 20$ mithilfe der Funktion $f$ (aus Aufgabe 1) beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f (x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich im Tank $1200 k g$ Glyzerin.
Der Punkt $(4 | 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Interpretieren Sie die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Interpretiere die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang
Der Punkt $(4 | 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Nach $4$ Stunden beträgt die momentane Änderungsrate $240$ Kilogramm pro Stunde.
Da der Wert positiv ist, würde bei gleichbleibenden Bedingungen der Tankinhalt um $240$ kg pro Stunde zunehmen.
Wie groß ist nach $4$ Stunden die momentane Änderungsrate?

Beurteilen Sie die folgende Aussage: "Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten." (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Beurteile die folgende Aussage: "Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."
Der Abbildung kann man entnehmen, dass die Änderungsrate $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn maximal ist. Die Änderungsrate bleibt aber noch weitere $4$ Stunden positiv, d.h. der Tankinhalt nimmt noch mehr zu.
Somit ist die Aussage falsch.
Beachte, was in der Abbildung dargestellt ist.

Bestimmen Sie die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn
Berechne das Integral $\int_{8}^{10} f (x) d x = 3178$
Der Tankinhalt hat zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn um $3178 k g$ zugenommen.
Berechne das Integral $\int_{8}^{10} f (x) d x$ .

Berechnen Sie, wie viel Glyzerin $20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Berechne, wie viel Glyzerin $20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist
Berechne das Integral $\int_{0}^{20} f (x) d x$ .
Eine Stammfunktion $F (x)$ von $f$ ist:
$F (x) = - \frac{1}{16} \cdot x^{5} + \frac{5}{4} \cdot x^{4}$
Dann folgt:
$\int_{0}^{20} f (x) d x = {[- \frac{1}{16} \cdot x^{5} + \frac{5}{4} \cdot x^{4}]}_{0}^{20} = (- \frac{1}{16} \cdot 20^{5} + \frac{5}{4} \cdot 20^{4}) - 0 = 0$
$20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich folglich genauso viel Glyzerin im Tank, wie zu Beobachtungsbeginn, d.h. es befinden sich im Tank $1200 k g$ Glyzerin.
Gib eine Stammfunktion $F (x)$ von $f$ an.
Berechne dann das Integral $\int_{0}^{20} f (x) d x = F (20) - F (0)$ .

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B2

Aufgabe 1

Zeige rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist

Bestimme eine Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0≤x≤8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat

Ermittle denjenigen Wert von b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks OBC maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an

Aufgabe 2

Beschreibe, wie der Graph von h4 aus dem Graphen von h3 erzeugt werden kann

Bestimme denjenigen Wert von a, für den der Punkt (4|f(4)) auf dem Graphen von ha liegt

Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von f und h3,75

Ermittle, an welchen Stellen im Intervall [0;16] die Graphen der Funktionen f und h3 einen vertikalen Abstand von 250 Längeneinheiten haben

Aufgabe 3

Interpretiere die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang

Beurteile die folgende Aussage: "Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."

Bestimme die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn

Berechne, wie viel Glyzerin 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist

Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Ermittle denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an

Beschreibe, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 | f (4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt

Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3,75}$

Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben

Berechne, wie viel Glyzerin $20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist