A2

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - x$ .
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Abbildung 1
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie ihre Angabe.
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Es ist $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ .
Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ ).
Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Ein Graph gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.
$[$ Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden. $]$
(3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen
Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $f$ sind $x = - 1$ bzw. $x = 1$ .
Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
$A = 2 \cdot \int_{- 1}^{0} f (x) d x = 2 \cdot {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} = 2 \cdot (0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt $\frac{1}{2} FE$ .
Lies die Nullstellen des Graphen von $f$ ab und berücksichtige bei der Flächenberechnung die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x + 2) \cdot e^{- x + 4}, x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
Die Funktion $f$ besitzt genau eine Extremstelle.
Ermitteln Sie die Extremstelle von $f$ .
$[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
(3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Ermittle die Extremstelle von $f$
Gegeben ist $f (x) = (x + 2) \cdot e^{- x + 4}$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x + 4} + (x + 2) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1) = - (x + 1) \cdot e^{- x + 4}$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = - (x + 1) \cdot e^{- x + 4}$
Weil $e^{- x + 4} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$
Die Funktion $f$ hat für $x = - 1$ genau eine lokale Extremstelle.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ .
$[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$
Abbildung 2
An der Extremstelle von $f$ ist $f^{'} (x) = 0$ .
Beim Wendepunkt von $f$ hat der Graph von $f^{'}$ einen Tiefpunkt.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Für jedes $a \in ℝ$ ist durch die Gleichung $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}, x \in ℝ$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.
Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an
Gegeben ist $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0 = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$
Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \lor 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$
Demnach sind $x = - 2$ und $x = - \frac{1}{2}$ die beiden Nullstellen.
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Benutze dabei den Satz vom Nullprodukt.

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für ein konkretes $a$ abgebildet.
Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ . (2 P)
Abbildung 3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Der Graph von $f_{0}$ hat die beiden Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ .
(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)
Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.
In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}$ abgebildet.
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Welche Nullstellen hat der Graph von $f_{0}$ ?
Vergleiche mit Abbildung 3.

Ermitteln Sie, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt
Gegeben ist der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}$ ein:
$40 e^{3}$ $=$ $(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
↓
Vereinfache.
$40 e^{3}$ $=$ $5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$ $: e^{3}$
$40$ $=$ $30 + 5 a$ $- 30$
$10$ $=$ $5 a$ $: 5$
$2$ $=$ $a$
Für $a = 2$ liegt der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{2}$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a}$ ein und löse nach $a$ auf.
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0,5$ .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist symmetrisch zum Erwartungswert.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$
Gegeben sind $n = 100$ und $p = 0,5$ .
Dann gilt für den Erwartungswert:
$μ = n \cdot p = 100 \cdot 0,5 = 50$ .
Der Erwartungswert beträgt $50$ .
Für die Standardabweichung gilt:
$σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{25} = 5$
Die Standardabweichung beträgt $5$ .
Gegeben sind $n = 100$ und $p = 0,5$ .
Für den Erwartungswert gilt: $μ = n \cdot p$ .
Für die Standardabweichung gilt: $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .

Die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$
Bekannt ist: $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
$\Rightarrow P (X \leq 60) = 1 - 0,02 = 0,98$
Wegen $p = 0,5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch zum Erwartungswert $50$ .
$\Rightarrow P (X \leq 39) = P (X \geq 61)$
$\Rightarrow P (40 \leq X \leq 60) = P (X \leq 60) - P (x \leq 39) = 0,98 - 0,02 = 0,96$
Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$ beträgt $0,96$ .
Bekannt ist: $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Berechne $P (X \leq 60)$ über die Gegenwahrscheinlichkeit.
Wegen $p = 0,5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch zum Erwartungswert $50$ $\Rightarrow P (X \leq 39) = P (X \geq 61)$ .
Berechne nun $P (40 \leq X \leq 60)$ .
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Im Folgenden werden zwei Würfel stets gemeinsam geworfen. Bei jedem der beiden Würfel sind die Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert.
Die beiden Würfel werden einmal geworfen.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine "6" auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine "6" auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt
Die Wahrscheinlichkeit keine $6$ zu würfeln beträgt $\frac{5}{6}$ .
Dann gilt mit den Pfadregeln für $P (6 6) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ .
Die Wahrscheinlichkeit keine $6$ zu würfeln beträgt $\frac{5}{6}$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis zweimal hintereinander stattfindet.

Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine "6" auftritt.
Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Begründe für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt
Bekannt ist: Die beiden Würfel werden $36$ -mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine " $6$ " auftritt.
Es ist $μ = n \cdot p = 36 \cdot \frac{25}{36} = 25$ .
Bei Abbildung 4 liegt der Erwartungswert bei $20$ . Damit passt die Abbildung 4 nicht zum berechneten Erwartungswert $25$ .
Bei Abbildung 5 liegt der Erwartungswert zwar bei $25$ , aber die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist hier größer als $1$ . (Addiert man nur die mittleren $5$ Werte, erhält man schon eine Wahrscheinlichkeit, die größer als $1$ ist.)
Es ist $n = 36$ . Bei Abbildung 6 finden man aber noch Wahrscheinlichkeitswerte für $k > 36$ , was ein Widerspruch ist.
Bekannt ist: Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine " $6$ " auftritt.
Berechne den Erwartungswert und vergleiche mit den Abbildungen.
Beachte außerdem: Ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ?
Gibt es nur für $k \leq 36$ Wahrscheinlichkeitswerte?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$40 e^{3}$	$=$	$(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
	↓	Vereinfache.
$40 e^{3}$	$=$	$5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$	$: e^{3}$
$40$	$=$	$30 + 5 a$	$- 30$
$10$	$=$	$5 a$	$: 5$
$2$	$=$	$a$

A2

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen

Aufgabe 2

Ermittle die Extremstelle von f

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von f

Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion f1 mit f1(x)=(x+2)(2x+1)⋅ex an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: a=0

Ermittle, für welchen Wert von a der Punkt P(3|40e3) auf dem Graphen der Funktion fa liegt

Aufgabe 4

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit P(40≤X≤60)

Aufgabe 5

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine "6" auftritt, 2536 beträgt

Begründe für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X zeigt

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen

Ermittle die Extremstelle von $f$

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine "6" auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt

Begründe für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt