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A3

Aufgabe 3

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ .

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.
(1 P + 3 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen
Gegeben: $f (x) = x^{2}$ , $y = m \cdot x$ mit $m < 0$ und $A = 36$
Berechne die Schnittpunkte:
Setze $f (x) = y$ :
$x^{2} = m \cdot x$
$x^{2}$ $=$ $m \cdot x$ $- m \cdot x$
$x^{2} - m \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x \cdot (x - m)$ $=$ $0$
Wende den Satz vom Nullprodukt an:
$x = 0 \lor x = m$
Für $m < 0$ und $m < x < 0$ verläuft die Gerade oberhalb des Graphen von $f$ .
Berechnung der eingeschlossenen Fläche für $m < 0$ :
$\int_{m}^{0} (m \cdot x - x^{2}) d x = {[\frac{1}{2} m \cdot x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{m}^{0} = - (\frac{1}{2} m^{3} - \frac{1}{3} m^{3}) = - \frac{1}{6} m^{3}$
Bestimmung der gesuchten Zahl $m : - \frac{1}{6} m^{3} = 36 \Leftrightarrow m = - 6$ .
Der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = - 6 \cdot x$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $36$ ein.
Setze $f (x) = y$ .
Berechnung der eingeschlossenen Fläche für $m < 0$ : $A = \int_{m}^{0} (m \cdot x - x^{2}) d x$
Löse die Gleichung nach $m$ auf: $A = 36$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org