Teil 2

Klara bastelt für ihre kleine Schwester zur Einschulung eine Schultüte.

Die obere Öffnung hat einen Radius $r = 12 cm .$

Klara beklebt den oberen Rand der

Schultüte mit einem Band.

Berechne die Länge des Bandes.
[ 2 Pkte ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Der obere Rand der Schultüte bildet einen Kreis.
Der Kreisumfang $U$ beträgt:
$U = 2 \cdot π \cdot r$
Der Radius des Kreises ist in der Aufgabe gegeben mit $r = 12$
$U = 2 \cdot π \cdot 12 \approx 75,4$
Die Länge des Bandes beträgt $\approx 75,40 cm$
Benutze die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs
Die Schultüte hat ein Volumen von $11310 {cm}^{3}$ .
Berechne die Höhe $h_{K}$ der Schultüte.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Volumen des Kegels mit Grundfläche $G$
$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h$
Berechnung der Höhe $h_{K}$
In der Aufgabe ist gegeben:
$V_{Kegel} = 11 310 {cm}^{3}$
$r = 12 cm$
$V_{Kegel}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h_{K}$
↓
Einsetzen der Werte
$11 310$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot π \cdot h_{K}$
$11 310$ $\approx$ $150,8 \cdot h_{K}$ $: 150,8$
$75,0$ $\approx$ $h_{K}$
Die Höhe der Schultüte beträgt $75 cm$ .
Bestimme, welche Werte in der Aufgabenstellung gegeben sind.
Setze die Werte in die Formel für die Berechnung des Kegelvolumens ein und berechne die Höhe.
Berechne die Größe des Winkels $α$ .
(Wenn du die Teilaufgabe b) nicht gelöst hast, dann rechne mit $h_{K} = 75,51 cm$ weiter.)
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Die Höhe $h_{K}$ , der Radius $r$ und die Seite der Schultüte bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Dabei ist die Seite der Schultüte die Hypotenuse $c$ des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Höhe $h_{K}$ ist die Ankathete.
Der Radius $r$ ist die Kathete.
Berechnung der Hypotenuse
Mit dem Satz des Pythagoras kann jetzt die Hypotenuse berechnet werden.
$c^{2} = (h_{K})^{2} + r^{2}$
$c^{2} = 75^{2} + 12^{2} = 5769$
$c = \sqrt{5769} \approx 75,95$
Berechnung des Winkels
Die Höhe $h_{K}$ teilt den Winkel $α$ in zwei gleich große Hälften. Mithilfe einer trigonometrischen Gleichung kann jetzt der Winkel $\frac{α}{2}$ berechnet werden.
$\sin (\frac{α}{2}) = \frac{Gegenkathete}{Hypotnuse}$
$\sin (\frac{α}{2}) = \frac{12}{75,95}$
$\frac{α}{2} = {9,09}^{\circ} \Rightarrow α = {18,18}^{\circ}$
Der Winkel $α$ hat eine Größe von ${18,18}^{\circ}$
Berechne zuerst die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die durch Radius und Höhe des Kegels gebildet wird.
Berechne dann den Winkel $α$ mit einer trigonometrischen Funktion.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$V_{Kegel}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h_{K}$
	↓	Einsetzen der Werte
$11 310$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot π \cdot h_{K}$
$11 310$	$\approx$	$150,8 \cdot h_{K}$	$: 150,8$
$75,0$	$\approx$	$h_{K}$

Teil 2

Volumen des Kegels mit Grundfläche G

Berechnung der Höhe hK

Volumen des Kegels mit Grundfläche $G$

Berechnung der Höhe $h_{K}$