B3

Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.

Der in der Abbildung dargestellte Körper $A B C D E F$ ist ein dreieckiges Prisma.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an
Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 | 64 | 246)$ .
Somit hat $B$ die Koordinaten $B (48 | 64 | 0)$ .
Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 | 64 | 246)$ .
Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_{a} (0 | 0 | a)$ gegeben.
Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist
Berechne die Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ .
$\vec{E G_{a}} = \vec{O G_{a}} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ a \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ a - 246 \end{array})$
$\vec{E F} = \vec{O F} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
Damit das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ null ergeben.
$\vec{E G_{a}} \cdot \vec{E F} = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ a - 246 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) = 2304 - 2304 + 0 = 0$
Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
Berechne die Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ und ihr Skalarprodukt, das gleich null sein muss.
Der Punkt $G_{a}$ soll die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen.
Geben Sie ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke im Verhältnis teilen
Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt
Es ist $g_{A D} : \vec{x} = r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array})$ .
Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss $r = \frac{2}{3}$ sein.
$G_{a}$ liegt auf $g_{A D}$ $\Rightarrow (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ a \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array})$ $\Rightarrow a = \frac{2}{3} \cdot 246 = 164$
Für $a = 164$ (bzw. $a = 82$ ) teilt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ .
$G_{a}$ liegt auf $g_{A D}$ .
Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss der Parameter der Geraden $g_{A D}$ gleich $\frac{2}{3}$ sein.
Für $a = 246$ gilt $G_{a} = D$ .
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ und das Volumen des Prismas $A B C D E F$ . (3 P)
$[$ Zur Kontrolle: $V_{Prisma} = 590400 VE$ . $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$
Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ .
$A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{E D} | \cdot | \vec{E F} |$
$\vec{E D} = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{E D} | = \sqrt{(- 48)^{2} + (- 64)^{2}} = 80$
$\vec{E F} = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{E F} | = \sqrt{(- 48)^{2} + 36^{2}} = 60$
$A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 2400$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ beträgt $2400 FE .$
Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$
Es gilt: $V_{Prisma} = A_{DEF} \cdot h_{Prisma}$
Dabei ist $A_{D E F} = 2400$ und $h_{Prisma}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
$\Rightarrow V_{Prisma} = 2400 \cdot 246 = 590400$
Das Volumen des Prismas $A B C D E F$ beträgt $590400 VE$ .
Teil 1
Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ . $A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{E D} | \cdot | \vec{E F} |$
Teil 2
Es gilt: $V_{Prisma} = A_{DEF} \cdot h_{Prisma}$
$A_{D E F}$ wurde im Teil 1 berechnet und $h_{Prisma}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

B3

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes B an

Zeige, dass das Dreieck GaEF für jedes a≥0 im Punkt E rechtwinklig ist

Gib ein a≥0 so an, dass Ga diese Bedingung erfüllt

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks DEF

Berechne das Volumen des Prismas ABCDEF

Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an

Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist

Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$

Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$